基于純各向異性擴散和四階PDE 的混合去噪方法研究

喬林峰，王 俊

(陸軍軍官學院，安徽 合肥 2300311)

近年來，關于利用偏微分方程方法進行圖像處理方面的研究已在多個不同領域顯有成效，在圖像去噪、圖像分割、圖像復原等方面都提出了很多經典模型及算法.這些模型在圖像處理方面都取得了非常不錯的成績.

本文針對四階PDE模型過多損失邊緣信息和純各向異性擴散模型在平滑區域產生階梯效應的缺點，提出了一種新的模型.該模型適用于去除高斯噪聲和椒鹽噪聲，并在有效去除噪聲的同時，既抑制了階梯效應又很好地保持了圖像的邊緣和紋理細節信息，同時該模型的算法實現簡單，穩定性也很好.

1 純各向異性擴散模型

Perona和Malik于1990年在文獻［1］中提出了P－M擴散方程:

該方程在圖像去噪的過程中能很好保持邊緣信息.式中g稱為傳導函數，一般取為:

式中，k為一臨界參考值.

圖像處理的很多應用領域對該模型在圖像特性信息的保護作用都有所關注，然而該模型的初值問題可能會出現“病態”問題［2］，同時，該模型對椒鹽類噪聲和強邊緣附近的其它噪聲的處理不是很好.

Alvarez和Morel對P－M擴散方程進行了改進，并提出了一種“純”各向異性擴散方程［3］:

進一步，有:

這樣，方程(2)的擴散項轉化為ξ方向上的擴散項.在運算過程中，為了避免圖像中平坦區域的梯度值可能為零，該模型采用了參數提升梯度，即

進一步，利用有限差分格式對方程(2)進行離散化，令迭代次數為k，空間步長為h，時間步長為 Δt，u(i，j)=ui，j，u0(i，j)=u0i，j，則

得該方程的離散顯示差分方程為:

該模型擴散只是沿著垂直于圖像的梯度矢量方向進行，可以看出其具有較強的邊緣保護和去除椒鹽類噪聲的能力.

2 四階PDE圖像去噪模型

Yu－Li和 M.Kaveh等人在文獻［4］中提到了一個四階PDE.此方程克服了低階PDE在圖像處理中存在的一些缺點，既有效保持了去噪的效果，又在一定程度上保持了圖像的細節和紋理特征.方程如下:

其中，f是正的非增函數，文獻中取其為:

其中λ為常數.

在這里，我們仍采用有限差分格式對其離散化.令迭代次數為k，空間步長為h，時間步長為Δt ，u(i，j)=ui，j，u0(i，j)=u0i，j，則得到該四階PDE的顯示差分格式為:

該四階PDE模型能避免產生“階梯”效應，并能在很大程度上恢復和保護平滑區域信息和細小紋理.

3 基于純各向異性擴散和四階PDE的混合模型

3.1 模型提出

針對以上純各向異性擴散模型和四階PDE模型在圖像去噪的特點討論，我們提出了混合的偏微分去噪模型:

式中，θ∈［0，1］為權重函數.設m，n分別為純各向異性擴散模型和四階PDE的解，則凸組合

即為(6)式的解.由圖像處理的實際情況可知，對于邊緣和平坦區域，應突出純異性擴散的作用，故θ應趨于1;對于漸變區域，應突出四階PDE的作用，故θ應趨于0.所以，權函數的遞歸表達式我們構造如下:

其中u=θkm+(1-θk)n，c為正數.

3.2 求模型的數值解

本文所提出的模型數值解的算法步驟為:

1)初始化:令 θ∈［0，1］，c和 p(收斂精度)，記m0=ur，n0=ur，其中ur為加入了混合噪聲的圖像，其大小為M×N.

2)循環計算:k=0，執行如下過程.

3)根據(3)式計算

4)根據(5)式計算

5)根據(8)式計算θk+1.

6)根據(7)式進行凸組合:uk+1= θk+1mk+1+(1- θk+1)nk+1.

7)mk+1=uk+1，nk+1=uk+1.

9)結束.

4 仿真實驗及其結果分析

為了有效驗證本文的方法，測試對象我們選取了256×256的圖像，對本文提出的混合模型以及四階PDE模型和純各向異性擴散模型在不同強度的高斯噪聲、椒鹽噪聲下的去噪效果進行了仿真實驗并做了比較.在這里，我們用信噪比(SNR)和歸一化的均方誤差(NMSE)作為其評價指標:

u(x，y)和u'(x，y)分別代表處理前的圖像和處理后的圖像.

利用數學軟件Matlab，我們對原始圖像添加了方差為0.02的高斯噪聲和密度為0.1﹪的椒鹽噪聲，然后用純各向異性擴散模型、四階PDE模型和本文混合去噪模型進行了去噪處理.三種模型的去噪效果比較圖如圖1所示.

圖1 三種模型的去噪效果比較圖

從圖1可以看出，純各向異性擴散模型盡管對混合噪聲去除得比較徹底，但圖像的紋理細節卻受到較大破壞，與原始圖像中的河流和街道區域進行對比可以發現，有一部分的細節信息已經丟失;四階PDE模型雖然對圖像的紋理細節起到了一定程度的保護，但圖中仍殘留著去噪后留下的一些麻點和椒鹽噪聲，對視覺效果有一定的影響.本文提出的混合去噪模型，既對椒鹽噪聲和高斯噪聲起到了很好的抑制，又保持了原始圖像中的細節信息和大量紋理.

與此同時，我們在測試圖像中分別加入4種不同強度的高斯和椒鹽混合噪聲，再利用純各向異性擴散模型、四階PDE模型以及本文提出的混合去噪模型進行處理，然后對去噪后圖像的歸一化均方誤差和信噪比進行統計(見表1)，其中M表示椒鹽噪聲密度，F表示高斯噪聲方差.從表1中數據可以看出，本文提出的算法對于處理加入不同強度噪聲的圖像，客觀效果均好于其他兩個模型，且算法的穩定性也比較好.

表1 三種模型處理圖像中不同混合噪聲的歸一化均方誤差和信噪比統計比較

［1］Perona P，Malik J.Scale － space and edge detection using anisotropic diffusion［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis Machine Intelligence，1990，12(7):629－639.

［2］Catte F，Lion J，Morel M.Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion［J］.SIAM Journal on Numerical Analysis，1992(29):182 －193.

［3］Alvarez L，Morel JM.Formalization and computational aspects of image analysis［M］.United States of America:Cambridge University Press，1994:1 －59.

［4］Whitaker R，Pizer S.A multi－ scale approach to nonuniform diffusion［J］.Computer Vision，Graphics，and Image Processing:Image Understanding，1993，57(1):99－110.

［5］張亶，陳剛.基于偏微分方程的圖像處理［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［6］陸君安，尚濤，謝進，等.偏微分方程的 Matlab解法［M］.武漢:武漢大學出版社，2004.

［7］岡薩雷斯.數字圖像處理:第2版［M］.北京:電子工業出版社，2002:1－3.

［8］陳祖墀.偏微分方程［M］.合肥:中國科學技術大學出版社，2002.