一類微分系統極限環的存在唯一性

袁雪峰，陳海波

(中南大學數學科學與計算機技術學院，湖南 長沙 410000)

關于微分系統極限環的研究，已經有學者取得豐富的成果.例如，文獻［1］討論了如下系統:

極限環在不同條件下存在的充分條件.

另外，文獻［2-4］研究了幾類奇次微分系統極限環的問題，特別是文獻［5］討論了更為廣泛的系統

極限環的存在性.對于系統(2)，當n=1時，可化為系統(1)，從而知道系統(2)是(1)的推廣.文獻［2］研究的結果涵蓋(1)中極限環存在的條件.

本文是在文獻［1-5］的基礎上研究了一類廣泛的系統的極限環的存在的條件，其中n＞m，2k＞2n-2m+1，n，m，k∈ N，a1，a2，a3是實數，且φ(x)，φ(x)滿足以下條件:

(H1)φ(x)為偶函數，且φ(0)＞0;

(H2)xφ'(x)＞ 0;

(H3)φ(x)是偶函數，且φ(x)＞0.

注:(H1)、(H2)包含了φ(x)≥φ(0)＞0.

顯然，文獻［1-5］所研究的系統都可以作為本文系統的特殊情況.本文對參數a1，a2，a3進行討論，運用Poincare切線法［6］以及N.Levinson-O.K.Smith定理［7］證明系統(3)極限環的不存在性、存在性和唯一性.

1 引理(Poincare切線法)［6］

F(x，y)=C 是一曲線組，且 F(x，y)∈C'(G)，

2 極限環的不存在性

本節利用不相交定理和引理討論系統(3)在滿足定理給定條件下，其極限環不存在，從而給出極限環不存在的充分條件.

定理1 當a2a3≥0時，系統(3)不存在極限環.

證明 針對定理所給出的條件，對a1=0，a1＜0，a1＞0三種情況進行討論.

(i)當a1=0時，系統不存在極限環.

當a1=a2=a2=0時，系統化為下面系統

由文獻［1］知，O(0，0)是(5)的中心.

用類似上面的方法把系統(3)化為:

當a2a3≥0時，

故上式為常號，系統(4)和(5)的向量場關于參數a2構成廣義的旋轉向量場.由不相交定理可以得到這兩個系統的閉軌線必定不相交，這與原點是(5)的中心矛盾，即不存在閉軌線，所以當a1=0時，系統(3)不存在極限環.

(ii)當a1＜0，a2a3≥0時，系統(3)不存在極限環.

其中，F(x)，g(x)∈C(-∞，+∞)，又因為a1＜0，所以O(0，0)是唯一奇點.

當x≠0，a1＜0，a2a3≥0時，

又 φ(x)≥ φ(0)＞ 0，

又令

且

故當a2=a3=0時，O(0，0)是中心;當a2＞0，a3＞0時，0;當a2＜0，a3＜0時，＜0.故在(ii)給出的條件下定號，又由引理可以得到系統(3)不存在極限環.

(iii)當a1＞0，a2a3≥0時，系統(3)不存在極限環.

所以由(i)～(iii)的證明知:在定理1的條件下，系統(3)極限環不存在.

3 極限環的存在唯一性

本節驗證系統在定理2給定的條件下，滿足N.Levinson-O.K.Smith定理，從而得出系統極限環存在且唯一的充分條件.

定理2 當系統(3)滿足a1≤0，a2＞0，a3＜0時，存在唯一且穩定的極限環.

由于a1≤0，所以O(0，0)是唯一奇點.

下面只需要討論系統在定理2的條件下滿足N.Levinson-O.K.Smith定理:

故必定存在x1＞0，使得成立.當0＜x＜x1時，F(x)＜0;當x1≤x時，F(x)≥0;當x1≤x時，-a2≥a3x2n-2mφ(x);有

令

因為a1≤0，a2＞0，a3＜0且xφ'(x)＞ 0，所以

即知當x1≤x時，F(x)≥0且單調遞增;

(ⅲ)因2k＞2n-2m+1，a1≤0，故

由(ii)的證明可知:

又

即

(ⅳ)F(x)，g(x)滿足Lipschitz條件.

由上面的證明可知，在定理2的條件下，滿足定理N.Levinson-O.K.Smith的條件，則系統(3)存在唯一且穩定的極限環.

4 結論

文章研究了一類形如(3)的高次微分系統，對參數進行討論，利用不同的方法得出了這類系統極限環不存在性、存在性和唯一性的充分條件.這對于高次微分系統極限環的存在性、唯一性的研究起到了一定的推動作用.

［1］梁錦鵬.一類三次系統的極限環［J］.系統科學與數學，2003，23(3):398-404.

［2］Li Jibin，Huang Qiming.Bifurcation of limit cycle forming compound eyes in the cubic system［J］.Chinese Ann.Math Series B，1987，8(4):391-403.

［3］高靜，林京.一類奇次微分系統極限環的存在性與唯一性［J］.合肥工業大學學報，2009，32(4):587-590.

［4］馬知恩.一類三次系統極限環的存在唯一性［J］.數學年刊 A 輯，1986，7(1):1-6.

［5］張瑞海，張齊.一類多項式微分系統極限環的存在性和唯一性［J］.湘潭師范學院報:自然科學版，2006，28(4):8-12.

［6］張志芬，丁同仁，黃文灶，等.微分方程定性理論［M］.北京:科學出版社，1985:155-231.

［7］葉彥謙，等.極限環輪［M］.上海:上?？茖W技術出版社，1984:60-135.