大學概率統計課程與普通高中(新課標)統計概率內容的銜接

馮麗萍

（南昌工程學院 理學系，江西 南昌 330099）

大學概率統計課程與普通高中(新課標)統計概率內容的銜接

馮麗萍

（南昌工程學院 理學系，江西 南昌 330099）

本文通過對普通高中新課標教材和大學本科教材中概率論與統計內容不同要求的對比，討論了大學本科階段《概率論與數理統計》課程與新課標統計與概率內容的銜接問題.

《概率論與數理統計》；大學本科；普通高中；新課標“統計與概率”；對比；銜接

1 引言

“概率論與數理統計”是研究隨機現象數量規律性的一門學科，也是數學中應用最廣泛的學科之一.《普通高中數學課程標準》將“算法初步、統計、概率”作為高中階段必修課程五個模塊中的第三模塊，并作為四個選修課程中系列1、系列2的模塊之一.而在大學本科階段，《概率論與數理統計》作為一門公共基礎課，是工科各專業的一門重要基礎理論課.本文就普通高中和大學本科階段對概率與統計學習的不同要求進行列舉和對比，并對大學本科階段《概率論與數理統計》課程與普通高中新課標統計與概率教育的銜接進行討論.

2 普通高中及大學本科階段對于概率與統計的學習要求對比

大學本科階段《概率論與數理統計》課程與普通高中階段“統計與概率”教學板塊的知識點及內容要求對比，見表1.(本文選取了北師大版的“普通高中(數學)課程標準實驗教科書”及浙江大學出版社出版、范大茵編寫的教材 《概率論與數理統計》（第二版）).

3 對大學本科《概率論與數理統計》課程與普通高中階段新課標教材中統計與概率內容銜接的思考

在教學過程中，教師是課程的實施者，也是學生學習的引導者和組織者.大學本科《概率論與數理統計》課程教師（以下簡稱“教師”）在教學設計中充分考慮本科階段與高中階段統計與概率內容的銜接是很有必要的.

3.1 教師對新課標教材中的統計與概率內容及其深度應有所了解

3.1.1 高中階段概率這部分教學的主要目的是通過大量生活中的實際例子，使學生了解隨機現象及概率的意義，理解隨機事件發生的不確定性及頻率的穩定性等，而不追求嚴格定義及形式化描述.在大學階段，可以通過高中課本的一些典型例題，喚起學生對高中知識的記憶，進而給出一些概念的形式化描述，并提醒學生注意大學《概率論與數理統計》課程的抽象性與普通高中階段“統計與概率”教學直觀性的不同.

3.1.2 高中必修3通過實例使學生理解古典概型的特征，并初步學習通過古典概型解決一些實際問題，而沒有把重點放在如何計算古典概率上.大學《概率論與數理統計》課程中古典概型的計算是一個難點，對于古典概率計算的要求比高中階段要高.所以，盡管學生在高中階段已經學習了古典概型，但是在古典概率的計算方面還是欠缺的，在大學階段要加強這一部分的訓練.

3.1.3 高中“選修2-3”通過實例使學生了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n重貝努里試驗模型，并能解決一些簡單的實際問題.但是，高中課本沒有涉及條件概率的基本性質，沒有明確給出概率的乘法公式，也沒有介紹全概率公式和貝葉斯公式.而關于事件相互獨立的概念，高中課本只是粗略地介紹了兩個事件相互獨立的情形，并沒有給出多個事件相互獨立的定義，只是含糊地說“如果A1,A2,…,An相互獨立，則有P(A1A2…An)=P(A1)P (A2)…P(An)”.對于這些內容，在大學階段可結合高中實例（見案例例1、例2），給予補充和糾正.

3.1.4 高中“選修2-3”中要求通過實例使學生理解離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量均值和方差的概念，學會計算簡單的離散型隨機變量的均值和方差.高中課本沒有給出隨機變量的嚴格定義，對于離散型隨機變量也只介紹了有限值情形，沒有介紹無限可列值的情形，也沒有介紹連續型隨機變量的定義和分布函數的概念.對于離散型隨機變量的均值和方差，只簡單介紹了概念，沒有討論它們的性質.在大學階段，隨機變量及其分布是重點內容，可結合高中實例（見案例例3、例4），給予補充和加強.

表1

浙大版《概率論與數理統計》章節 內容與要求 高中階段“統計與概率”內容Ch5數理統計的基本概念 （4學時）§1總體和樣本§2概率論和矩陣代數的基礎知識§3幾個常用的分布和抽樣分布Ch6參數估計（6學時）§1參數的點估計§2估計量的評選標準§3參數的區間估計Ch7假設檢驗（6學時）§1假設檢驗的基本概念§2正態總體下參數的假設檢驗§3非參數假設檢驗1.理解總體、個體、樣本和統計量的概念. 2.理解樣本均值、樣本方差的概念，掌握根據數據計算樣本均值、樣本方差的方法. 3.了解x2分布、t分布、F分布的定義，并會查表計算分位數. 4.了解正態總體的某些常用抽樣分布、如正態總體樣本產生的標準正態分布、x2分布、t分布、F分布等。1.理解點估計的概念，了解矩估計法(一階、二階)與極大似然估計法. 2.了解估計量的評選標準 (無偏性，有效性，一致性). 3.理解區間估計的概念，會求單個正態總體的均值及方差的置信區間，會求兩個正態總體的均值差及方差比的置信區間. 1.理解假設檢驗的基本思想，掌握假設檢驗的基本步驟，了解假設檢驗可能產生的兩類錯誤. 2.了解單個和兩個正態總體的均值與方差的假設檢驗。必修3：（16學時）（1）理解隨機抽樣；學會通過簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣及系統抽樣的方法.（2）學會做頻率分布表及頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，并了解它們分別有什么特點.（3）學會從樣本數據中求出基本的數字特征（例如平均數、標準差等），并據此進行分析.（4）學會通過樣本的頻率分布估計總體的分布，學會用樣本的數字特征估計總體的數字特征.（5）學會通過具體實例中的兩個相關聯變量的數據作出散點圖，從而直觀地認識變量間的關系.（7）了解最小二乘法思想；學會根據所給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程.選修1—2（14學時）統計案例：（1）通過具體例子，了解獨立性檢驗的基本思想、方法和初步應用.（2）通過具體例子，了解實際推斷原理和假設檢驗的基本思想、方法和初步應用.（3）通過具體例子，了解聚類分析的基本思想、方法和初步應用.（4）通過具體例子，了解回歸的基本思想、方法和初步應用.選修2—3：同選修1-2內容

3.1.5 高中“選修2-3”通過實例使學生理解超幾何分布、二項分布及正態分布，并能進行簡單的應用.高中課本對超幾何分布、二項分布，都給出了其分布列的表達式，但是對于正態分布，只借助直方圖等直觀圖表，使學生認識正態曲線的特點及所表示的意義，沒有給出正態分布的概率密度函數，也沒有介紹標準正態分布和正態分布表.在大學階段，可結合高中實例（見案例例5、例6），對于正態分布給予補充和加強.

3.1.6 高中階段統計教學的主要目的是通過統計案例引導學生體會統計的作用和基本思想.鼓勵學生經歷數據處理的過程，引導學生掌握抽取樣本的不同方法，并通過樣本數據計算相應的數字特征，培養他們對數據的直觀感覺，使學生認識到統計結果的隨機性.對統計中的概念只通過實例進行描述性說明，而不追求嚴格定義.大學階段，對于數理統計中的概念都是給出了嚴格定義或是形式化描述的，在介紹定義時可結合高中課本典型例題（見案例例7）進行引入.

3.1.7 高中階段的統計內容，只要求學生了解幾種統計方法的基本思想及其初步應用，對理論基礎不做要求.在大學階段須提醒學生注意，大學數理統計教學中對理論基礎方面的要求是比較嚴格的，很多公式是需要記憶、很多計算是需要練習的，這與高中的要求有很大不同，學生們要及早調整自己的學習思路和方法，以適應大學概率與統計的學習.教師了解新課標教材中的統計與概率內容及其深度，有助于在授課過程中調整重點和難點，合理分配內容所需的授課時間.另外，新課標教材中大量地運用案例引入概念、組織教學，本科教師可以選取一些新課標教材中的實際案例，來喚起學生對已學過的知識的回憶.例如，分析在商場促銷活動中，轉轉盤抽大面額獎券和直接獲得小面額獎券，哪種更合算；通過擲色子或擲硬幣決定飛行棋誰先走，并設計一個對雙方都公平的游戲規則，與同學玩一玩；統計小麗一家各類食物攝入量的百分比，并繪制扇形統計圖，敘述從扇形統計圖中獲得了哪些信息；調查人們初次結婚的年齡是否隨著時代的發展而逐漸增大等等.

3.2 教師應引導學生認識到本科 《概率論與數理統計》課程與新課標教材中的統計與概率在內容及要求上的不同

高中階段強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，重點培養學生的運算、作圖、推理、處理數據以及使用科學計算器等基本技能.而在本科教學中，注重概念、理論的掌握，思想、方法及計算能力的培養，知識點的廣度和深度大幅度提高.例如，在高中階段選修2—3中關于隨機變量，只給出“隨機現象中試驗（或觀測）的每一個可能的結果都對應于一個數，這種對應稱為一個隨機變量”這樣一個不太嚴謹的定義，沒有介紹樣本空間、樣本點，更沒有指出隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數，也沒有提到隨機變量的分布函數.

教師應提醒學生及時發現和適應本科教學與高中教學的巨大差異，并調整自己的學習方法，跟上本科的教學進度.

3.3 教師可采取多樣化的教學手段.

相較于高中階段，大學本科階段課程的趣味性和直觀性有所降低，理論性和邏輯性有所提升，這讓很多學生一時難以適應，教師可根據不同的教學內容及學生的實際情況，采取多樣化的教學手段，以提高學生的學習興趣和積極性.

3.3.1 可以選擇一些有趣的，既能體現數學的思想、方法，又與日常生活密切相關，能夠反映數學應用的素材，例如，體育比賽預測、計算彩票概率等，使學生感覺到數學就在我們身邊，數學的應用無處不在.

3.3.2 可借鑒新課標的教學要求，設置“數學探究”“數學建模”和“數學文化”等新型教學活動，通過收集數據、自主探索、合作交流等方式或閱讀文獻、討論交流、撰寫論文等方式，把這些活動適當地穿插在教學內容中，給學生留下適當的拓展空間，并給學生提供相關的背景材料、示范案例和課外閱讀的參考書目及相關資料源，幫助學生自己設計學習活動，引導學生自主探索，鼓勵學生完成課題作業或專題總結報告，對有關課題作進一步探索和研究.這些拓展、延伸的內容不作為考試的要求.

3.3.3 借助信息技術來呈現以往課堂教學中難以呈現的課程內容，教師可向學生提供相關電子書籍的下載網址、相關論文網站及網上交流平臺，鼓勵學生使用科學計算器、計算機軟件、互聯網等各種數學教育技術平臺，加強數學教學與信息技術的結合，引導學生改進學習方式，借助現代信息技術來學習數學知識，并探索和研究一些自己感興趣的數學問題.

案例

例1100件產品中有93件產品的長度合格，90件產品的重量合格，85件產品的長度、重量都合格.現在，任取一件產品，若已知它的重量合格，那么它的長度合格的概率是多少？

例2 經過調查發現，某班同學患近視的概率為0.4.現隨機抽取該班的2名同學進行體檢，求他們都近視的概率.

例3 已知10件產品中有2件不合格品.現從這10件產品中任取3件，這是一個隨機現象.（1）寫出該隨機現象所有可能出現的結果；（2）試用隨機變量來描述上述結果.

例4 設有12個西瓜，其中有4個重5千克，3個重6千克，5個重7千克，求西瓜的平均質量.

例5 已知在10件產品中有4件次品，現從這10件產品中任取3件，用X表示取得的次品數，試寫出X的分布列.

例6 某射擊運動員進行了4次射擊，假設每次射擊擊中目標的概率都為0.75，且各次擊中目標與否是相互獨立的.用X表示這4次射擊中擊中目標的次數，求X的分布列.

例7 醫生如何檢驗人的血液中血脂的含量是否偏高的？你覺得這樣做的合理性是什么？

〔1〕范大茵，陳永華.概率論與數理統計（第二版）.浙江大學出版社，2003.

〔2〕中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（修改稿）.

〔3〕中華人民共和國教育部.全國普通高中數學課程標準（實驗）.

數學是科學之王，現代科技的高速發展離不開數學的發展.數學是思維的體操，能夠極大促進兒童智慧的發展.在基礎教育階段，兒童通過游戲獲得數學知識，培養積極的數學情感，也就意味著他們開始掌握了開啟智慧大門的鑰匙.學好數學，對兒童將來學業的進步以及終身發展大有裨益，起著不可估量的作用.

3—9歲的兒童處于由直觀形象思維向抽象思維的過渡階段，也是兒童數學概念初步形成以及發展的關鍵期.因為思維水平的限制，這一時期兒童還不能完全理解抽象的數學概念.幼兒園以及小學低年級的數學教育是數學教育的起始，不僅僅是教會兒童數幾個數、做幾道算式題，更重要的是通過數學教育激發兒童的探究欲望和求知欲，培養兒童良好的學習品質，初步發展兒童的抽象邏輯思維能力.“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.”發源于英國的BEAM數學突破傳統課程開發的技術理性，權利尊重理念下教師與學生互為主體，寓教于樂的游戲教學形式，不僅讓孩子獲得數學知識，更讓孩子在操作性學習過程中愛上數學.

1 BEAM數學教學體系的建構與發展

BEAM是BeAMathematician的縮寫，意思是“成為一個數學家”，由英國倫敦大學國王學院MikeAskew教授等70多位數學教育領域著名專家經過近20年精心研究而成.BEAM數學在英國受到了廣泛的歡迎，已經成為英國基礎數學教育領域的一支奇葩，得到廣泛的推廣實施.BEAM數學是BEAM教育出版公司研發的一套適合幼兒園、小學的一套數學教學體系.BEAM公司的前身是20世紀80年代初英國政府資助的數學專題教學研究課題組，成立至今，一直致力于創新性數學教學方法的改革以及教具教材的研發出版，為兒童提供有趣、具有挑戰性和娛樂性的數學教育.

BEAM數學根據不同年齡段兒童的思維水平特點，為3—5、7—9、9—11、11—13歲的兒童提供了個四階段的教學內容，每個階段包括若干豐富數學游戲活動，課程資源由大量教具和少量配套操作紙質活動手冊組成.教學形式既有小組游戲、也有單獨游戲和集體游戲.BEAM數學的教育理念是讓孩子在輕松愉快的數學游戲中開發數學潛能，獲得數學知識，訓練數學思維，培養數學情感.

2 BEAM數學教學活動的設計與實施

“巫婆的咒語”游戲活動是BEAM數學3-5歲年齡段40多個游戲活動之一.40多個數學活動涵蓋了數量、空間、分類、排序等知識內容.針對3歲兒童設計的教學活動.與“巫婆的咒語”類似的游戲活動還有“小魚回家子”“小熊的野餐”等.

活動名稱：巫婆的咒語玩家人數：

適合2個玩家適合年齡：Vol.28No.7 Jul.2012

赤峰學院學報（自然科學版）

JournalofChifengUniversity（NaturalScienceEdition）

第28卷 第7期（上）2012年7月

英國基礎教育BEAM數學的建構與啟示

凌曉俊1，時 松2

（1.東北師范大學 教育科學學院，吉林 長春 130024；吉林師范大學 教育科學學院，吉林 四平 136000）

摘 要：數學是基礎教育的重要學科.如何在培養兒童數學興趣的基礎上，訓練兒童的思維，提高兒童的數學知識是全球面臨的一個教育難題.英國的BEAM數學突破傳統課程開發的技術理性，改變枯燥的數學學習，寓教于樂，不僅讓兒童在操作性學習中獲得了大量的數學知識，而且促進了兒童數學思維和情感的積極發展.基于我國基礎數學教育現狀的思考，應從以下兩個角度重建我國基礎數學教育：注重兒童學習的主體建構，創設豐富的操作環境；關注數學教育生活化，知識與興趣相輔相成.

關鍵詞：BEAM數學；游戲；材料；操作；生活

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3—4歲

潛能開發：

能正確點數6以內的物體并說出總數；能積極參與活動，遵守游戲規則.

材料準備：

帶水塘的游戲板1張；昆蟲若干；青蛙模型2只；蓮葉模型2片；2—4黃色數字卡片2套；2—6藍色數字卡片2套；“花園—水塘”轉盤1個；小孩模型2個.

游戲過程：

活動情境：你們被巫婆的魔法咒語變成了青蛙，你們需要解除魔咒變回人類.只有在蓮葉上收集到正確數量的昆蟲，咒語才會被打破，青蛙才能變回小孩.

1.讓小朋友坐在游戲板旁邊，每個小朋友分一只青蛙，讓他們把青蛙放在游戲板的石頭上.再分給每人一片蓮葉，挨著自己的青蛙放進水塘邊的方形格內.

2.打亂2-4的黃色數字卡片，一個玩家抽出一張牌，面朝上放好.另一個玩家找出顯示同樣數字的另一張卡片，把卡片放在游戲板上.這個數字卡片顯示的數字就是你們應該得到的可以打破咒語的昆蟲數量.

3.幼兒輪流轉轉盤，根據箭頭的指示，拿一只昆蟲放到花園里或者是蓮葉上.

4.當青蛙旁邊蓮葉上面的昆蟲數量達到了卡片顯示的數字時，你就可以解除咒語，變回人類.陪伴另一個小朋友繼續游戲，直到他也得到了同樣數量的昆蟲變回人類.如果盤子里面的昆蟲都取走了，可以把花園里面的昆蟲放回盤子接著使用.

有效提問：

1.你的數字卡片上是幾？那么你需要在蓮葉上收集幾只昆蟲才能變回人類？

2.你收集了幾只昆蟲？還差幾只？

有用詞匯：

一樣、多于、少于、幾只

活動延伸：使用2—6藍色數字卡片2套.

此活動教學目標讓3歲孩子感知4以內物體的數量，符合兒童經驗發展水平，難度適宜；教學內容以打破咒語為主線，通過數字卡片顏色的變化增加難度，考慮兒童發展差異性，因材施教；教學材料是仿真性高、安全性高、色彩鮮明的不同類別的昆蟲以及羅盤、游戲情景板，選擇材料成盒包裝，方便取放；教學方法采用直觀教學法，形象生動；教學評價以教師觀察性的對話為主，通過有效提問和關鍵詞匯引導兒童在過程中認知建構.

單個BEAM數學活動的玩家一般為2-4人，輪流游戲，其他孩子可以在其它幾十種活動材料中自由選擇喜歡的游戲.在活動的選擇上，與蒙特梭利教育法有共同之處，但在活動的形式上迥然不同，BEAM數學教學活動更多的是采取小組合作游戲的形式，課堂氛圍熱烈活躍，交流頻繁，討論積極.整個數學活動的教與學充分體現了寓教于樂的游戲教學理念，教師是整個游戲活動的引導者.

3 BEAM數學對我國基礎數學教育的啟示

中國基礎教育中的數學教育近些年取得了較快的發展，然而理論研究的層級較低，實踐層面依然受傳統學科教學方式的影響，兒童沒有完全被解放出來，在課程教學設計中處于壓抑的技術理性狀態，從而降低了我國基礎教育數學教育的長久效能.較之英國BEAM數學寓教于樂的新型教學體系，反思我國基礎教育數學教育存在的問題，改進重構我國基礎階段數學教學體系.

3.1 操作材料豐富，注重兒童學習的主體建構

BEAM數學為3-9歲兒童的數學學習提供了很多動手操作的材料.兒童可能不認識數字“5”，但是能在游戲中感知5個漂亮可愛的小青蛙.學前兒童利用豐富的毛絨、橡膠、塑料、木頭等仿真安全制品的數學材料開展數學游戲，主動獲取物體間數量關系、構建數學知識體系.進入小學階段，BEAM數學的教學活動設計在操作材料的使用上慢慢過渡到象征性物體，原本的仿真實物由抽象的硬幣、棋子、卡片代替.兒童在動手操作中，進行積極的數學思維活動，實現外部動作向內部思維活動的轉化.任何知識都發源于動作，動作是聯系主客體的橋梁，動作發展了，主客體各自的練習就得到了發展，它們分別演化為關于客體的物理知識結構和關于主體的邏輯數理知識結構.[1]BEAM數學這種借助外部動作“內化”數學思維活動的操作性學習，幫助兒童向抽象數學概念思維活動的過渡奠定了堅實的基礎.

當前我國基礎教育領域數學教育存在的一個突出問題是操作性學習材料缺乏，教學材料依然以紙質材料為主，兒童的學習停留在黏貼、連線、畫

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--圖、算數寫字等方式.操作材料的匱乏直接影響到我國基礎教育的教學方法，兒童無法在動作中發展，只能依賴教師的語言，機械記憶.數學是一個比較抽象的學科，早期兒童數學概念的獲得需要大量經驗的支撐，而經驗來源于與實物的互動.皮亞杰認為數學是一種邏輯數理知識，它不存在于實際物體之中，兒童獲得數理邏輯知識不是從客體本身，而是通過擺弄這一動作性過程來發展數學認知.兒童對邏輯數量關系的理解和掌握有賴于他們自身直接與物體的相互作用.而我國的基礎教育，尤其是小學低年級，教室內除了教師和孩子就是黑板和桌椅，環境單一，教學材料匱乏.BEAM數學給我國的啟示之一是：多種途徑豐富數學教學材料，增加兒童動手機會.

3.2 生活皆教育，知識與興趣相互推進

皮亞杰提出了兒童思維發展四階段理論，每個年齡階段的兒童數學學習呈現出不同的思維水平.[2]思維的發展具有一定的階梯性和遞進性，因此教育要遵循兒童的發展水平.BEAM數學根據不同年齡段兒童的思維水平特點，為3—11歲的兒童提供了三個階段的課程資源.BEAM第一階段的內容包括了幼兒園數學學習的數、量、空間等主要知識要點，孩子能通過游戲逐漸掌握10以內數量的加減法；第二階段的內容主要是100以內單位數和雙位數的加減法；第三階段的學習主要是10以內單位數的乘除法.在教學材料的使用上逐漸由仿真實物向抽象數字符號過渡.三個階段的數學學習充分考慮到了幼小銜接的有效過渡.

興趣是人們探究某種事物帶有感情色彩的一種認識傾向.它是兒童學習數學知識，發展數學抽象思維的內在積極因素.古今中外不少偉大的科學家和杰出人物，他們的創造與成就往往和對所從事的事業具有的濃厚興趣密不可分.德國大數學家高斯幼時就對數學產生了濃厚的興趣，興趣激勵著他頑強地攀登上數學的高峰.BEAM數學則以孩子喜聞樂見的形式，讓孩子在輕松愉快的環境中，輕輕松松學數學.比如BEAM數學5-7歲階段“阿爾法空間站”的活動情境為“你是星際飛船的指揮官，你的任務是為從地球到阿爾法空間站去旅行的人們規劃出一條安全的路線.為了達到這個目標，你必須沿著太陽系的軌道控制三個行星.”該活動的教學目標是練習20以內的加法，精彩的情景激發兒童的學習興趣，兒童通過兩個骰子相加潛移默化中學習數學知識.一日生活皆教育，生活無時無刻不含教育.BEAM數學設計的數學活動大多來源于生活，“單項車賽”“超市購物”“生物學家遠洋”等，利用兒童熟悉的生活化的游戲情景，讓兒童感覺到數學與生活同在、緊密相連，并學習運用數學知識解決一些簡單的生活問題，激發學習數學的興趣，促進數學思維的發展.

中國現在很多地區幼兒園、小學數學教育雖然也會讓一些兒童獲得一些刮目相看的數學知識，可是這些知識獲得的方法往往是強化訓練，以犧牲兒童的數學興趣為代價.我國基礎教育階段數學教育過于強調數學學科的系統系、邏輯性，嚴格按照年級教學，教學目標細化、難度層次分明.按照抽象的學科邏輯順序編排課程利于系統傳授教學知識，但是基礎教育階段，尤其學前教育階段以及幼小銜接階段，教學不僅要考慮到學科特點，還要遵循兒童的心理特點，在教學方法上突出興趣的重要性，課程編制邏輯順序與心理順序相結合.BEAM數學給我國的啟示之二是：教學與生活相互結合，知識與興趣相互推進.

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注 釋：

①此文的寫作基于對倫敦幼兒園的考察，在此一并感謝英國BEAM教育出版公司以及長春出版社所提供的教具和資料.

參考文獻：

〔1〕朱家雄.幼兒園課程[M].上海：華東師范大學出版社，2011.16.

〔2〕黃瑾.學前兒童數學教育[M].上海：華東師范大學出版社，2007.38.

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A 文章編號：1673-260X（2012）07-0209-04

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1673-260X（2012）07-0206-03