非均布瞬態內壓作用下固體推進劑藥柱泊松比隨機結構分析①

王君祺，職世君，張建偉

(1.中國空空導彈研究院四所，洛陽 471009;2.航空制導武器航空科技重點實驗室，洛陽 471009;3.北京航空航天大學，北京 100191)

0 引言

點火發射是固體火箭發動機所經歷的最惡劣的載荷工況。因此，在發動機的設計階段及后期發動機貯存后的再評估階段，對固體火箭發動機點火工況下的結構完整性分析就顯得格外重要。國內外對固體火箭發動機內壓載荷下結構完整性分析的研究較多，但大多采用均勻分布載荷［1－3］，而發動機在實際點火過程中壓力波的傳遞，使得發動機內壓力載荷存在瞬態分布特性［4］。因此，若采用瞬態分布壓力進行分析，則更接近發動機的實際工況。

由于固體發動機裝藥受制造、工藝、測量等因素的影響，使得藥柱力學性能參數不可避免具有一定的分散性。如泊松比接近于0.5，通過實驗很難測定其準確數值，多次的測量結果呈概率分布，具有隨機性［5］。若采用確定性的分析方法，得出的結果可信性較差。近年來，隨著計算機計算能力的不斷提高，為了能描述工程結構的實際情況，考慮不確定性因素已成為一種趨勢［6］。因此，有必要對推進劑藥柱結構進行不確定性分析［7］。

本文首先采用Abaqus商用有限元軟件計算了固體火箭發動機點火過程壓力瞬態分布時裝藥的結構完整性，然后結合粘彈性有限元法和Monte-Carlo方法，即構成所謂的粘彈性Monte-Carlo方法，考慮了泊松比隨機分布對固體火箭發動機點火過程裝藥結構完整性的影響。

1 物理模型和計算方法

1.1 發動機模型及網格劃分

發動機的構成主要有殼體、絕熱層和藥柱，假設藥柱和絕熱層為線粘彈性材料，殼體為彈性材料。線粘彈性本構關系為

式中 Yijkl(t)為四階張量，具體材料參數參見文獻［8］。

發動藥柱為管狀結構，考慮發動機幾何構型的對稱性，取其1/4建模，如圖1(a)所示。其中，面1為點火藥包瞬間壓力填充區域，面2的壓力符合式(3)的分布。采用六面體單元對發動機進行網格劃分，如圖1(b)所示。

圖1 固體火箭發動機1/4模型及網格劃分Fig.1 SRM 1/4 model and mesh

1.2 發動機瞬態載荷及藥柱泊松比分布

1.2.1 發動機瞬態載荷分布

發動機點火藥位于發動機頭部，點火后，發動機燃燒室藥柱頭部壓力急劇增加，并以很快的速度向燃燒室尾部傳播。在此期間，發動機內壓力載荷呈典型的非均布和非穩態特征。文獻［4］中提出的固體火箭發動機點火過程內壓瞬態非均布函數，即

式中 p0為平衡壓強;v為壓力軸向傳播速度;z為軸向坐標;t為發動機點火時間;a為壓力增長速因子。

當點火藥被引燃后，壓力會瞬間充滿發動機頭部區域，若直接采用上述公式，發動機燃燒室壓力分布為從z=0位置開始遞減，與實際情況有所出入。因此，假定發動機頭部點火藥部位在增壓過程中壓力保持一致，即在式(2)中引入發動機頭部點火距離的參數b，則式(2)可改寫為

文中分別取 a=500，b=45 mm，v=50 m/s，發動總長為500 mm。

1.2.2 藥柱泊松比隨機分布

采用Monte-Carlo法進行結構隨機有限元分析時，首先要根據隨機變量的已知概率分布進行抽樣，然后再對每個抽取的樣本，利用有限元法求取發動機藥柱的結構響應量，最后根據所有樣本的計算結果進行統計分析。對隨機變量進行抽樣時，若采用直接Monte-Carlo方法，則在不改變抽樣的均值和方差的前提下，樣本數目巨大，由其對于三維粘彈性藥柱的有限計算，其計算量太大。因此，為提高粘彈性Monte-Carlo隨機有限元的計算效率，采用Latin超立方抽樣技術，該方法在不改變抽樣的均值和方差的前提下，可有效減少樣本數目。

在對固體火箭發動機裝藥點火工況下的結構完整性進行分析時，泊松比的影響往往較大［9］。考慮藥柱泊松比為隨機參數，對泊松比進行隨機抽樣。泊松比的分布采用截斷型高斯分布，相關參數如表1所示。

表1 藥柱泊松比隨機分布參數Table 1 Random distribution parameters of Poisson＇s ratio

根據表1數據，對泊松比進行Latin超立方抽樣300次，其均值隨抽樣次數的變化，如圖2所示。從圖2中可看出，當抽樣300次時，其均值已趨于平穩，說明對泊松比進行300次抽樣，滿足固體火箭發動機裝藥結構完整性隨機分析的要求。

圖3所示為泊松比隨機分布的統計結果，圖形與截斷型高斯分布十分接近，這也說明抽樣次數是足夠的。

圖2 藥柱泊松比均值隨抽樣次數的變化曲線Fig.2 Curve of mean of Poisson＇s ratio vs number of sampling

圖3 藥柱泊松比隨機抽樣柱狀分布圖Fig.3 Random sample histogram of Poisson＇s ratio

2 計算結果與討論

2.1 藥柱受非均布內壓的計算結果及分析

利用三維粘彈性有限元法，計算發動機在瞬態非均布壓力作用下的結構完整性。取5個時間點為研究對象，其壓力分布如圖4所示。固體火箭發動機的Mises等效應變分布如圖5所示。

從圖5中可看出，點火過程中不同時刻發動機的Mises等效應變分布。當點火藥被引燃后，發動機頭部瞬間充滿氣體，壓力增大。如圖5(a)所示，在發動機藥柱頭部產生了較大的應變。

圖4 不同時刻發動機壓力分布圖Fig.4 Distribution of pressure at different times

圖5 壓力傳播過程Mises等效應變分布Fig.5 Distribution of Mises strain during pressure diffusion

由于本文忽略了發動機的脫粘處理，因此發動機頭部的計算結果存在一定誤差，本文主要考慮發動機圓管段在壓力傳播過程的Mises等效應變分布。隨時間增加，壓力逐漸向發動機尾部傳播。從圖5中可明顯看出，發動機藥柱上存在應變峰的移動。當發動機內部壓力趨于穩定時，發動機藥柱的應變分布亦趨于穩定。對比圖5中的計算結果可知，在壓力傳播過程中，發動機藥柱的最大Mises等效應變值比整個發動機內部壓力分布穩定時的最大Mises等效應變值大許多。可見，若采用發動機內部均勻壓力分布計算發動機點火過程的結構完整性是不妥當的。

在壓力傳遞的過程中，發動機藥柱的受力狀態是復雜的。為研究發動機在點火過程藥柱的復雜受力狀態，取5.84×10－3s時的發動機為研究對象，如圖5(c)所示。建立路徑并統計路徑上節點的軸向應變和Mises等效應變分布，如圖6所示。從圖6中可看出，沿路徑分布的Mises等效應變在壓力傳播到的位置附近存在明顯的波峰和波谷。軸向應變分布是導致這一現象的一個主要原因，在壓力傳播的過程中，藥柱受到發動機頭部和尾部殼體的約束，使得藥柱圓柱段受到內壓載荷作用的部位軸向受拉，而未受到內壓載荷的部位軸向受壓。藥柱頭部由于過渡圓弧的結構，在受發動機工作壓力作用時，其過渡圓弧處受壓。因此，可從圖6的軸向應變分布曲線中看出存在兩個明顯的波谷，分別位于藥柱頭部和藥柱圓柱段。最大Mises等效應變的位置基本上與軸向應變負向最大值的位置一致，即出現在藥柱軸向受壓最大的位置。由于發動機藥柱從受拉狀態到受壓狀態存在一個過渡階段，即在發動機藥柱受拉段和受壓段存在一區域的軸向應變接近零，該區域的Mises等效應變很小。因此，在最大Mises等效應變位置之前呈現波谷狀分布，這從圖6中可明顯看出。

圖6 5.84×10－3s時刻發動機路徑上應變分布Fig.6 Strain along SRM path at 5.84 ×10 －3s

以發動機中間部位的節點14 639為對象，研究發動機藥柱固定點在內壓載荷傳遞過程中的受力狀況，如圖7所示。

圖7 節點14 639 Mises等效應變隨時間變化曲線Fig.7 Mises strain-time curve of note 14 639

從圖7中可看出，在0.005 5 s時，節點的Mises等效應變達到最大值。因為此時發動機藥柱的Mises應變峰剛好移動到節點14 639處，當應變峰繼續往發動機后端移動時，節點的Mises等效應變迅速變小，在0.006 3 s時，節點位置剛好處于如圖6中所示的Mises應變波谷，此時節點的等效應變最小，隨應變峰的繼續移動，節點的Mises等效應變逐漸增加，最后趨于穩定。

2.2 藥柱隨機有限元計算結果及分析

為考慮泊松比對點火工況下發動機藥柱結構完整性的影響，采用如圖2所示的泊松比隨機分布數據，對發動機在瞬態壓力分布作用下進行有限元計算，共300個算例。仍以節點14 639為研究對象，統計應變峰經過該點時的Mises等效應變，即該節點在點火過程中的最大Mises等效應變，其柱狀分布圖如圖8所示。

圖8 藥柱節點14 639最大Mises應變柱狀分布圖Fig.8 Mises strain maximum histogram of note 14 639

藥柱節點14 639最大Mises應變隨機分布統計參數如表2所示。從表2中可看出，該節點統計的Mises應變最大值和最小值相差僅0.571 16%。根據節點應變均值和標準差可知，其變異系數為1.104 6%。可見，在瞬態非均布載荷的作用下，泊松比的隨機分布對發動機Mises等效應變的影響較小，這與采用均布載荷計算的結果有明顯差異。

表2 藥柱節點14 639最大Mises應變分布參數Table 2 Distribution parameters of Mises strain maximum of note 14 639

節點14 639的最大Mises等效應變隨藥柱泊松比的變化，如圖9所示。從圖9中可看出，泊松比越大，Mises等效應變值越大，且呈線性分布。這與均布載荷下的所得到的結論完全相反。這主要與瞬態非均布載荷的作用下藥柱復雜的受力狀態有關。因此，不能直接認定泊松比越大，Mises等效應變值就會越小，應充分考慮發動機點火過程的壓力傳播對藥柱結構完整性的影響。

圖9 藥柱節點14 639的最大Mises等效應變隨泊松比的變化曲線Fig.9 Mises strain maximum-Poisson＇s ratio curve of note 14 639

3 結論

(1)固體火箭發動機藥柱在瞬態非均布載荷的作用下，其受力狀態十分復雜。在點火過程中，發動機藥柱上存在應變峰的移動，且計算得到的Mises等效應變遠大于均布載荷的計算結果。

(2)算例中藥柱泊松比的隨機分布對發動機藥柱在瞬態非均布載荷作用下的結構完整性影響不大，Mises等效應變的變異系數僅為1.104 6%，且Mises等效應變隨泊松比的增大而增大，呈線性分布。而在均布載荷下的泊松比的影響往往較大，且Mises等效應變隨泊松比的增大而減小。可見，在瞬態非均布載荷與均布載荷下的結論差別較大，采用均布載荷計算藥柱應變，并將其計算結果作為結構完整性分析的依據有其局限性。因此，在對固體火箭發動機結構完整性分析時，應充分考慮發動機點火過程的壓力傳播過程，即壓力的瞬態非均勻分布。

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