y=Asin（ωx+φ）+k——研究三角函數(shù)性質(zhì)的法寶

☉湖北省襄陽市第五中學(xué) 謝 偉

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，高中學(xué)生在分析三角函數(shù)問題時(shí)，往往因?qū)θ亲儞Q的目標(biāo)不明確、找不到解題方向而丟分.實(shí)際上，三角變換包括三個(gè)方面：①變換角，即化異角為同角；②變換函數(shù)名，也就是化異名函數(shù)為同名函數(shù)；③變換結(jié)構(gòu)，主要是將高次式降冪為一次式，將低次式升冪為一次式.即將目標(biāo)三角函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式.因?yàn)檎n本中的三角函數(shù)的性質(zhì)都是以y=Asin（ωx+φ）+k為對(duì)象進(jìn)行討論的，因此，我們只有將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為這種模型，才能準(zhǔn)確且方便地運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解題.

（1）求f（x）的最小正周期；

分析：求三角函數(shù)的最值，仍然離不開三角恒等變換，朝什么方向變形？怎樣變形？這就要求熟練掌握三角函數(shù)恒等變形的方向和目標(biāo)：轉(zhuǎn)化為y=Asin（ωx+φ）+k型函數(shù).結(jié)合目標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)，首先需要變角，將變換為x，然后再變結(jié)構(gòu)（降冪），將二次式結(jié)構(gòu)化為一次式結(jié)構(gòu).

所以最小正周期為π.

分析：研究三角函數(shù)的性質(zhì)常常需要通過等價(jià)變形將比較復(fù)雜的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為y=Asin（ωx+φ）+k型函數(shù).再分析函數(shù)的圖像變換、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì).

高中新課標(biāo)教材是以y=Asin（ωx+φ）+k為對(duì)象研究三角函數(shù)的性質(zhì)的，但是，高考試題為了考考生的化歸與轉(zhuǎn)化的能力，往往以比較復(fù)雜的三角函數(shù)形式來出現(xiàn)，這就需要我們?cè)谶M(jìn)行三角函數(shù)變換時(shí)牢固抓住三角變換的目標(biāo)，即：將比較復(fù)雜的三角函數(shù)形式轉(zhuǎn)化為y=Asin（ωx+φ）+k型函數(shù).