理解必要條件優化解題策略

☉湖北省秭歸縣第一高級中學 胡 俊

綜觀歷次高中數學課程的修改，充要條件的內容都做了保留甚至是強化處理.可反觀我們的教學，一般都是詳細講解了充分條件和必要條件的定義，然后給了許多組“條件p，條件q”讓學生判斷“p是q的什么條件”.顯然這樣的做法完全弱化了充要條件尤其是必要條件在解題時的思維向導作用.本文從運用必要條件優化解題策略方面談談筆者的粗淺看法.

我們知道：若已知“p?q”，則q是p的必要條件.所謂q是p的必要條件，即意味著q是p成立的必不可少的條件.盡管我們平時解題時應該尋求的是“題設的充要條件”，但相對于“充要條件或充分條件”而言，“題設的必要條件”往往顯得簡單、直觀和具體，容易解決.同時在尋求的必要條件中，不僅包含題設的充要條件，而且在尋求必要條件的過程中常隱含著問題的解法.因此，我們解決某個問題有困難時，常常可以先尋求題設的必要條件，然后再驗證其充分性，從而獲得問題的解決.在本文中，筆者例談利用必要條件解題的兩種功能：（1）小題小做，直接求解問題；（2）縮小范圍，簡化解題過程.

一、小題小做，直接求解問題

分析：若按常規解法，則需要利用f（x）=－f（－x）或者f（x）+f（－x）=0恒成立求解.這樣的解法顯然對指數的相關運算有較高要求，顯得有些“小題大做”了.若是直接利用其必要條件f（1）+（f－1）=0求解出同時注意到本題是填空題，若有解的話只能是這樣的解法顯然快速簡潔得多.

當然，如果本題是一個解答題的話，則還需要驗證其充分性，即去證明是奇函數，這就是一件很容易的事情了.

二、縮小范圍，簡化解題過程

例2（人教版必修5P89例6）要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規格，每張鋼板可同時截得三種規格的小鋼板塊數如表1所示：

表1

今需要A、B、C三種規格的成品分別15、18、27塊，那么需要各裁這兩種鋼板多少張可得所需三種規格產品，且使所用鋼板張數最少？

分析：本題是個典型的線性規劃問題，從構建約束條件到用平面區域表示出可行域都很常規.其特別之處在于需要尋求最優整點解，而教材對整點的探求過程又語焉不詳，看完教材還是有些不明所以.如果從必要條件去探求就不難理解了.

圖1

從以上例子可以看出，利用必要條件解題，就如同破案，先利用蛛絲馬跡，確定犯罪嫌疑人的特征（范圍），縮小其偵查范圍，最后通過篩選抓住罪犯.

需要說明的是，利用必要條件解題并不困難，但對于某個問題的題設而言，其往往有多個不同的必要條件.例1中題設的必要條件就有無數個，最常見的有f（0）=0，本題中由于x=0不在定義域中，所以沒有利用其求解.其他的就有f（1）=f（－1），f（2）=f（－2），…等等.顯然，較為理想化的題設的必要條件是其自身容易解決，且從其解決過程中又易發現或得到一般性問題的解法.所以，利用必要條件解題的關鍵是能否找到一個最佳的必要條件.

總之，利用必要條件解題是一個非常有實效的解題策略.我們教師在平時教學過程中，要注意引導學生親身體驗從必要條件的角度考慮問題所帶來的好處，讓學生懂得必要條件的挖掘和利用是一種解題策略，更是一種生活的智慧.