巧建模型 快速解題

☉江蘇省新海高級中學 宋秀云

立體幾何重點研究的是空間中的點、線、面、體的各種位置關系.在學習中，如何提高空間想象能力是擺在廣大學生面前的一個大難題.借助最熟悉的幾何體構造模型，可以幫助學生打破思維定勢，尋找解題的突破口，提高解題能力.

一、構造正方體模型解題

例1 如圖1，甲烷CH4的分子結構是：碳原子位于正四面體的中心，4個氫原子分別位于正四面體的四個頂點上（各個面都是正三角形的四面體叫做正四面體，到正四面體四個頂點的距離都相等的點叫做正四面體的中心）.設碳原子與4個氫原子連成的四條線段兩兩組成的角為θ，則cosθ=_____________.

圖1

分析：本題如果放在正四面體中直接求解，比較麻煩.先構造一個正方體，如圖2，A-BCD為正四面體，正方體的中心就是碳原子，∠DOC即為θ.

圖2

評注：正四面體內接于正方體，一般能用正四面體解決的問題都可以借助“正方體”模型解決.

變式：已知三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，AB=BD=CD，∠BDC=90°，求BC與AD所成的角.

分析：常規方法是借助平行移動找到所求角，但計算復雜.把該三棱錐放到正方體中，如圖3，BC與AD的位置關系一目了然，所求角為正方體兩條面對角線的夾角.

圖3

二、構造長方體模型解題

例2 從點P出發的三條棱PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=4，PC=5，則過P、A、B、C四個點的球的表面積為_____.

分析：構造長方體，以P為頂點的三條棱PA、PB、PC兩兩垂直，過P、A、B、C四個點的球就是這個長方體的外接球，長方體的體對角線就是球的直徑.設球的半徑為R，則有

變式1：三棱錐PABC的三條側棱兩兩垂直，Q是底面三角形ABC內的一點，Q到三個側面的距離分別為4cm、6cm、12cm，則PQ的長為______.

分析：構造長方體，PQ即為以4、6、12為長、寬、高的長方體的體對角線，故有

變式2：如果三棱錐P-ABC的三個側面兩兩垂直，它們的面積分別為6cm2，4cm2，3cm2，那么它的外接球的體積是____.

分析：構造長方體，由三個側面兩兩垂直可以得到三條棱PA、PB、PC兩兩垂直，長方體的體對角線就是球的直徑.設球的半徑為R，則有.本題只要由面積條件求出三條棱的長度即可.可設PA=x，PB=y，PC=z，則有從而解得答案.

變式3：已知四面體的四個面都是邊長分別是5、6、7的全等三角形，求這個四面體的體積.

分析：若按常規思路，這個問題的解答很復雜.

通過對已知條件的分析，構造長方體ABCDA1B1C1D1，如圖4，其中四面體

D1-AB1C符合條件，令AC=5，B1C=6，AB1=7.

圖4

由勾股定理得AB2+BC2=25，AB2+BB1=49，BB1+BC2=36，解得AB2=19，BC2=6，AA12=30.

評注：其實條件可以減弱，只要是對棱相等的四面體都是長方體的一部分，并且四面體的體積都是對應長方體體積的

構造模型解立體幾何問題，不但能提升學生的思維起點，培養學生的空間想象能力，而且還能讓學生發現數學美，體驗數學美，提高學生學習數學的興趣.