例談利用幾何畫板解決圓的問題

☉江蘇省南京市大廠高級中學 張路民

我們知道當一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓.我們在解決圓的相關題目時常常會遇到一些動圓或者是隱形圓.這類問題往往處理起來比較棘手，原因主要在于它們太抽象，但如果我們能借助于幾何畫板將其畫出甚至動起來就變得很形象了，當然問題也就容易解決多了.下面筆者舉兩個例題加以分析.

一、利用幾何畫板解決動圓問題

例1 如圖1，在直角坐標系xOy中，A（a，0）（a>0）、B（0，a）、C（-4，0）、D（0，4），設△AOB的外接圓的圓心為E，點P在圓E上，使△PCD的面積等于12的點有且只有三個，試問：這樣的⊙E是否存在？若存在，求出⊙E的標準方程，若不存在，說明理由.

分析：本題中的⊙E顯然是一個動圓，隨著a的取值的變大，⊙E也會逐步變大，因此若借助于幾何畫板進行演示將會非常有助于問題的解決.

圖1

由平行線性質我們知道：兩條直線平行，其中一條直線上的任意點到另一條直線的距離相等.

圖2

故滿足條件的平行線有兩條，方程分別為l1：x-y+10=0，l2：x-y-2=0.又因為點P在⊙E上，故所求點即為圓與直線l1、l2的交點

借助于幾何畫板加演示.如圖2，作出直線l1、l2作△AOB的外接圓，將圓小慢慢變大，當圓與直線l1l2有三個交點時即為所求圓

所以這樣的⊙E存在，其程為：（x-5）2+（y-5）2=50.

評注：本題借助于幾何畫板通過輔助直線l1、l2將動圓問題形象的展示出來，使得原本非常抽象的問題具體化，我們在改變圓的大小的過程中能夠很直觀的感受到點P從無到有的過程.

圖5圖6

圖7

延伸：經進一步研究還能得到以下結論.

這樣這道題不僅得到了非常完美的解決，而且還得到了進一步的延伸.在這道題的解決過程中，兩條輔助直線起到了非常重要的作用，它們讓我們很清晰的觀察到了點P從不存在到存在、從少到多的過程，把原本不太容易下手的問題變得簡潔.

二、利用幾何畫板，借助“隱形”圓解決其他問題

圖8

分析：本題解決的關鍵是如何定位∠F1PF2為鈍角.確定角的大小一般可以利用余弦定理或向量的數量積等，就本題而言，雖然可以實施但較復雜.通過幾何畫板的動態演示，我們發現圓有如下性質：圓上一點與任意一條直徑的兩個端點連接（該點不在此直徑上）構成的角為直角；若該點在圓內則構成的角為鈍角；若該點在圓外則構成的角為銳角.

由圓的性質，可知分別以點P1、P2、P3、P4為頂點與F1、F2連接構成的角為直角.

橢圓上點P1、P2之間以及P3、P4之間的點同時在圓內，故以它們為頂點連接F1、F2構成的角為鈍角，符合題意.

所以所求點P介于P1、P2之間以及P3、P4之間.

圖9

評注：本題表面上看不出與圓有任何關系，但通過分析發現題中隱含著一個圓，借助幾何畫板更加能夠直觀形象地體現出來，對問題的解決起到了很大的輔助作用.

計算機輔助教學是隨著計算機技術的發展而形成的現代教育技術.《幾何畫板》引入數學課堂教學能體現出以下主要作用.

（1）有助于提高課堂效率，把抽象的知識形象化.

（2）有助于提高課堂教學效果.由于情況的快速反饋，老師講課時更具有針對性，并能及時調整教學內容和節奏.

（3）有助于培養學生敏捷思維和觀察問題、分析問題、解決問題的能力.