深入方可淺出——關(guān)于一類(lèi)求橢圓離心率取值范圍問(wèn)題的思考

☉湖北省武漢市東湖中學(xué) 馮 煒

有許多問(wèn)題，我們往往會(huì)被其貌似復(fù)雜的表面現(xiàn)象所迷惑，以致一葉障目，看不到問(wèn)題的本質(zhì)，把握不住規(guī)律.這時(shí)就需要我們?cè)偕钊胍徊?，探究其本源，尋求其?guī)律.本文結(jié)合以下案例談?wù)勛约旱乃伎?（1）若橢圓上存在點(diǎn)P，對(duì)于左、右焦點(diǎn)求其離心率的取值范圍.

圖1

對(duì)于（1），我們通常的做法是：設(shè)P（x0，y0），利用焦半徑公式將轉(zhuǎn) 化 為又

對(duì)于（3），焦半徑公式就無(wú)用武之地了，用上述（2）的思路也將受阻，因此要解決此題只得另想其他方法了.其一種思路為：設(shè)P（x0，y0）、A1（－a，0）、A2（a，0），利用“到角公式”計(jì)算∠A2PA1的正切值，消去y0后再利用0≤x02＜a2構(gòu)造不等式后求解得e∈此處解題過(guò)程略.

上述三個(gè)問(wèn)題從形式和解法上來(lái)看，均互不相同，似乎它們之間沒(méi)有什么本質(zhì)的聯(lián)系.若深入分析，發(fā)現(xiàn)它們還是有共同點(diǎn)的，如：點(diǎn)F1、F2或A1、A2都在橢圓的長(zhǎng)軸上.那么一般地，任給兩點(diǎn)M（1－x1，0）、M（2x2，0）（0＜x1≤a），若橢圓上存在點(diǎn)P，使∠M1PM2=α（900≤α＜1800），求其離心率的取值范圍.又該如何處理？

證明：由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，為討論簡(jiǎn)便且不失一般性，可設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0＞0.

這樣一來(lái)，前面的三個(gè)問(wèn)題表面上看似聯(lián)系不大，解題思路也各異，但其本質(zhì)是相同的.

在新課改的實(shí)施過(guò)程中，作為數(shù)學(xué)教師，需要在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)地深入一步，盡可能地探究出問(wèn)題的本源，只有這樣深入才可以做到淺出.