再談不等式證明的常規方法

☉江蘇省灌南中等專業學校 夏麗蓉

由于不等式證明的方法較多，且常與函數、數列等知識綜合，加上綜合性比較強，這就使得這部分內容成為高考的難點.這就要求我們要熟練掌握不等式證明的基本方法的基礎上，還要抓住不等式的特征選擇最恰當的方法迅速地加以解決.下面舉例說明不等式證明常用的幾種方法，并就這些方法的應用來舉例說明，供讀者參考.

一、比較法

比較法是證明不等式的最基本的方法之一，我們常用的是“作差比較法”及“求商比較法”.當欲證的不等式兩端是多項式或分式形式時常用作差法；當欲證的不等式兩端是乘積形式或冪指數形式時常用求商法.“作差比較法”適用于任何被比對象，但“求商比較法”適用的被比對象必須是正數.

例1（2011年陜西卷）設0

二、綜合法

綜合法就是從題設條件及不等式的性質出發，逐步推導出所要證明的不等式，簡稱“由因導果”，應用綜合法證明的關鍵是找出作為基礎的已經證明過的不等式.

三、分析法

分析法是一種執果索因的方法，即從結論出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，從而斷定原不等式成立.分析法證明“若A成立，則B成立”的模式是：“要證B成立，只需證B1成立，即證B2成立，只需證明A為真，而已知A成立，故B成立.即B?B1?B2?…Bn?A.

又x≥1，y≥1，所以（xy-1）（x-1）（y-1）≥0，從而所要證明的不等式成立.

四、反證法

反證法也叫歸謬法，其證明步驟可概括為：

1.否定結論，即假設命題的結論不成立，即肯定結論的反面成立；

2.推出矛盾，即由結論反面（稱“暫時假設”）出發，通過一系列正確的推導，導出矛盾；

3.否定假設，即由正確推理導出矛盾，說明“暫時假設”不成立；

4.肯定結論，即由于否定“暫時假設”，于是肯定結論成立.

反證法的難點在于從假設出發推導出矛盾，矛盾可能是多種多樣的，可與已知矛盾，或與已有的事實矛盾等.

五、數學歸納法

數學歸納法是證明關于自然數n的命題的一種方法，近幾年的高考試題，不但要求能用數學歸納法去證明現成的結論，而且加強了對于不完全歸納法應用的考查，既要求歸納發現結論，又要求能證明結論的正確性，因此，初步形成“觀察—歸納—猜想—證明”的思維模式，就顯得特別重要.應用中要注意以下三點：

1.充分認識數學歸納法證明分兩步走的必要性；

2.注意：假設n=k成立，證明n=k+1成立變形的技巧性；

3.寫好結論：注意數學歸納法證題的完整性.

例5 設數列{an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，….

（1）求a1，a2；

（2）{an}的通項公式.

下面用數學歸納法證明這個結論.

①n＝1時已知結論成立.

當然不等式的證明方法還有很多，如構造函數利用導數、三角代換、數形結合、構造向量等，但這些方法都是以上5種常規方法的引申或變換，因此解題中同學們在掌握基本方法的基礎上，要充分挖掘問題的根源，選擇策略，這樣才可達到事半功倍之效.