圓錐曲線中參數問題的求解策略

☉江蘇省灌南高級中學 邵華川

與圓錐曲線有關的參數范圍問題，既是高考的重點又是難點.這類問題綜合性較大，解題時需根據具體問題靈活運用解析幾何、平面幾何、函數、不等式、三角等知識，正確地構造不等式，反映了解析幾何與其他數學知識的密切聯系，體現了“在知識點交匯處命題”的高考命題思想.解決這類問題的基本思想是：通過深入挖掘隱含條件，將問題化歸為求函數的值域或解不等式（組）的問題.常見的求解策略有以下幾種：

一、利用“Δ”判定法

例1 已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（

（1）求雙曲線的方程；

由直線l與雙曲線C恒有兩個不同的交點，得

評注：與直線和圓錐曲線的位置有關或交點個數有關的問題，常采用“Δ”判定法構建不等式（組）求其范圍.

二、利用“e”范圍法

例2橢圓b2x2+a2y2=a2b2（a>b>0）與直線x+y-1=0相交于P、Q兩點，O為坐標原點，且OP⊥OQ.

評注：建立待求參數與相應曲線的離心率e間的函數關系，通過離心率e的范圍以確定待求參數的范圍.

三、利用坐標范圍法

例3 已知F1、F2是橢圓9x2+25y2=225的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線于橢圓交于B點，點A、C在橢圓上，且|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差數列，設弦AC的垂直平分線的方程是y=kx+m，求實數m的取值范圍.

解析：設A（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0）為弦AC的中點.

評注：建立待求參數與曲線上點的坐標間的函數關系，利用圓錐曲線的范圍（縱、橫坐標的有界性或無界性）以確定待求參數的范圍.

四、利用隱含條件范圍法

例4 試確定m的取值范圍，使得橢圓3x2+4y2=12上有不同的兩點關于直線y=4x+m對稱.

解析：設A（x1，y1），B（x2，y2）為橢圓上關于直線y=4x+m對稱的兩點，C（x0，y0）為線段AB的中點，則可設直線AB的方程為

評注：通過充分挖掘已知條件中的隱含條件，建立隱含不等式，是求解的關鍵.

五、利用圓錐曲線的定義法

例5 雙曲線C的離心率為e，左右焦點分別為F1、F2，能否在C的左支上找到一點P，使得|PF1|是P到左準線的距離d1與|PF2|的等比中項，若不存在，說明理由；若存在，求e的取值范圍.

評注：與焦點三角形有關的問題，常利用圓錐曲線的定義建立不等式，結合三角形的正、余弦定理求其范圍.

以上各方法之間是相互聯系、相互滲透的，同一問題的解決可能可采用多種方法，也可能多法并用，但只要我們對其類型理解掌握，理解其本質，那么便可以很好解決以上問題.