談談高一函數概念的有效教學策略

☉廣東省中山市華僑中學 張立平

數學學習的過程就是概括的過程，概括就是由個別事物分離出同類事物的本質屬性.所以沒有概括學生就不能掌握理解概念，不能運用概念，就不能形成概念，那么概念所涉及的知識學生就不可能掌握.所以在函數教學中我們要重視函數概念過程教學，突出函數的本質.概念教學遵循從具體到表象再到抽象的過程，讓學生從具體的實例出發歸納總結概念的本質屬性.函數概念學習可分為三個階段：感受階段—抽象階段—強化階段.

一、感受階段

學生的學習是一個主動建構的過程，主動地建立新知識和舊知識聯系是學生學習概念的必要條件.在函數教學時，為了讓學生感受事物的共性，教師可創設合適的問題情境，激活學生初中已有的函數知識.如：天體運動規律，早上騎車去上學等一些簡單的例子.在這些過程中有沒有變量，變量有幾個，變量之間有沒有依賴關系，這些依賴關系是函數嗎？從現實的背景出發，讓學生思考這一運動變化的過程，感受變量的關系，同時回憶初中所學函數的定義并抽象出函數.然后，在此基礎上教師再提供一些各種類型的函數，幫助學生對函數再認識再抽象.高一書本上的例子有些太復雜，教師可根據具體情況選擇課本上或生活中的一些實例.

實例1：一輛動力火車以時速140千米勻速行駛，速度y與時間x的關系？

實例2：一名同學買作業本，一本2塊錢，買x（x∈{1，2，3，4，5，6}）本所付錢數y與買本數x之間的關系？

實例3：復雜一點的是分段函數：比如說水費，一個家庭一個月用水量6噸以下，每噸1.2元，超過6噸的部分每噸1.5元，那么用水量x與所付水費y的關系？

實例4：一名學生在安靜狀態下測量自己每分鐘心跳次數，再在劇烈運動4分鐘后測量自己每分鐘心跳次數，每隔一分鐘再測一次直到第五分鐘，得到如下表格：

活動后時間第0分鐘第1分鐘第2分鐘第3分鐘第4分鐘心跳次數 76 143 138 125 100

在這些實際例子中，實例1讓學生感受到速度任何時間都是140，解析式為y=140，速度沒有隨時間的變化而變化，這是函數嗎？實例2學生感受到雖然總錢數隨著買的作業本的數目而變化，但是y=2x，x∈{1，2，3，4，5，6}，自變量只取六個整數，因變量也只有五個值，圖像不是直線了，而是一些離散的點.實例3學生感受到水費也隨著所用水量在變化，但是在不同的用水量范圍中變化關系不同，即讓學生感受到自變量取不同的值，解析表達式不同，圖像也是有差別的，是由一些折線組成的.實例4讓學生感受到心跳次數雖隨時間變化而變化，但是不能用解析表達式表示.呈現各種類型函數的例子，讓學生感受函數的本質.

二、抽象階段

通過第一階段學生充分地感受了生活實踐中這些豐富的例子，教師可以引導學生分析實例，學生在經歷解決實際問題的過程中逐步獲得函數的本質是兩個變量的對應關系.根據APOS理論學生在學習函數概念時，首先開始“活動”只是把函數看作一個簡單的表達式或公式，這些式子中含有可以賦值和運算的字母；然后學生把函數看作可以輸入輸出的機器，于是知識就處于第二狀態“程序”，這是一個循環的過程.當學生遇到一個更復雜的函數表達式時，學生就會又回到“活動”階段，進而進一步完善函數“程序”.當學生經過多次“活動”熟悉后就把它內化成“程序”儲存在腦中.因此教師可以用“集合”與“對應”的語言給出函數的定義.

實例1中，學生會出現疑問“函數定義是一個量隨另一個量而變，而在例1中，速度沒有隨時間的變化而變化，關系表達式為y=140，這是函數嗎？”教師需要引導學生分析這一過程，把“一個量跟著一個量變”和“一個量變，而另一個沒有變”這二者統一起來，找出兩者共同特征.教師可以做如下的分析：設時間t（小時），0→140，0.1→140，0.2→140，…，5→140，具體分析，讓學生概括出時間與速度的關系是：t→140這一對應關系，抽象出對應的思想.

實例2中，所付總錢數y與買的作業本的本數可以用表格表示如下：

作業本數x 1 2 3 4 5 6所付錢數y 2 4 6 8 10 12

讓學生觀察表格，總結分析錢數與本數之間的關系：

1→2 ，2 →4 ，3→6，4→8，5→10，6→12，兩個量之間滿足如下關系x→2x.作業本數的取值是在1，2，3，4，5，6這六個值范圍內，而錢數也是在六個值2，4，6，8，10，12這六個內取值，從而讓學生抽象出兩個量之間的關系是兩個數集之間的對應.然后我們把實例1和實例2做一個比較，得出兩者的共同特征：在實例1和實例2中兩個變量之間的關系都是x有一個值，y都有一個唯一確定的值與之對應，無論對應的值相同或不同，只要存在一個確定值，可以是一對一，也可是多對一.要找到一個唯一確定的值，那必須有確定的對應關系，即對應法則來找到我們所要的唯一確定的值.在例1和例2中都是兩個數集之間的對應.

實例3中，讓學生感受自變量在不同的取值范圍內，所對應的解析表達式是不同的.每一個確定的水量都對應了一個唯一確定的水費，讓學生抽象出這一本質屬性.

實例4中，學生會產生這樣的問題“心跳的次數與時間的關系不能用解析式來表達，這是函數嗎？”教師帶領學生分析，由以上的例子我們可以總結出兩個量之間的關系是“x一個值y都有唯一確定的值與之對應，要找到這個確定值，那必然要有個對應法則”.例3中這個對應法則就是每一個確定的時間都對應了一個唯一的心跳數，這個對應法則只是不能用解析式來表達，對應法則不必一定要是解析式.

由以上這么多例子，通過多次“活動”讓學生抽象出函數的本質，我們可以讓學生采用集合與對應的語言來描述函數概念，提出函數的符號.這里要對函數符號y=f（x）的教學予以說明.在函數概念得出以后，教師要對函數的抽象符號y=f（x）強調說明，指出y=f（x）只是一個數學符號，它是為y是x的函數的數學表示，而不是說y等于f乘上x；y=f（x）有時能用解析式來表達，而有時不能用解析式表達；f（x）與y＝f（a）是不同的，一般情況下，y＝f（a）表示當x取a時的函數值，函數還可以用g（x），F（x）等來表示.通過在多次“活動”的基礎上讓學生進一步完善函數在頭腦中的“程序”.經過以上的直觀感受，觀察歸納，抽象總結，形式化、符號化生成函數概念.

三、強化階段

在這一階段，為了讓學生避免在沒有準確掌握函數概念本質時盲目的應用，教師可以舉一些與日常生活息息相關或者和其他科學相關的正例，加深學生對函數概念的理解，強化函數的本質屬性是“對應”.在對應的函數活動中，只有學生主動地反復利用函數“程序”，函數概念建構過程才可能得以實現.教師可以利用函數表示方式的多樣性，讓學生積極參與到各種活動中來.例如，教師可以設計這樣一個情景，有一個同學去上學，一開始他徒步走了一段路程，后發現自己忘了拿數學書就立即返回拿上數學書，后又怕遲到，所以他立刻跑步上學，累了后繼續走剩下的路程.讓學生在平面直角坐標系中畫出他走法的圖像，用橫坐標表示時間，縱坐標表示路程.教師再畫出一些函數圖像，讓學生自己設計問題情境.這樣讓學生感受到函數與日常生活的聯系，調動學生學習的積極性，加深學生對函數概念本質的理解.以上通過從典型、豐富的具體實例出發，激發與學生原有的認知結構的沖突，引起學生的積極思維，加強知識間的聯系，抽象概括出函數的本質.教師幫助學生構建活動，通過多次活動讓學生親身體會、感受直觀背景和函數概念的關系，引導學生對活動進行思考，內化為程序，從而抽象出函數的特性，認識函數的本質，對函數形式化和符號化，能對函數整體認識，在學生頭腦中建構為一個具體的對象.函數的學習是一個不斷完善深化的過程，學生在后續對具體的函數進行研究時，以頭腦中的對象去進行新的活動，經過長期的學習進一步完善函數這一對象，逐漸形成關聯的認知結構，建立起與其他概念的聯系，形成個體頭腦中的認知框架，即圖示結構，并應用它解決與函數概念相關的問題.

1.賈隨軍.函數概念的演變及其對高中函數教學的啟示.課程·教材·教法，2008，7.

2.呂世虎，王尚志.高中數學新課程中函數設計思路及其教學.課程·教材·教法，2008，28（2）.