轉(zhuǎn)化法求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式

☉江西省永新縣禾川中學(xué) 郭海華

求遞推公式數(shù)列通項(xiàng)公式問題，是近幾年高考的熱點(diǎn).通常可以通過遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題求解.通過變換遞推關(guān)系，將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為與等差、等比有關(guān)的數(shù)列而求得通項(xiàng)公式的方法稱為轉(zhuǎn)化法.常用的轉(zhuǎn)化途徑有：

一、配湊變換

將遞推公式an=can－1+b（b、c是常數(shù)，且c≠1）通過配湊變成

例1 已知{an}中，a1=1，an=3an－1+2（n≥2），求an.

解：由an=3an－1+2，得an+1=3（an－1+1），則，即{a+1}是n首項(xiàng)為2、公比為3的等比數(shù)列.

an+1=2·3n－1，即an=2·3n－1－1.

二、倒數(shù)變換

點(diǎn)評(píng)：本題通過對(duì)題設(shè)中的遞推公式取倒數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化、構(gòu)造出新的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決問題.

三、除冪變換

將遞推公式an+1=can+dn（c、d為非零常數(shù)，c≠1，d≠1）除以dn+1變?yōu)?/p>

例3已知{an}中，a1=1，an=2an－1+2n（n≥2），求an.

四、對(duì)數(shù)變換

將遞推公式an+1=canp（an>0，c.0，p>0，p≠1），取對(duì)數(shù)得lgan+1=plgan+lgc.

解：兩邊取常用對(duì)數(shù)，得lgan=2lgan－1－lga，可變?yōu)?，則數(shù)列為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列.

五、特征方程法

若數(shù)列遞推關(guān)系是an+1=pan+qan－1（p、q為非零常數(shù)），可先求二次方程x2=px+q的兩根α、β，則數(shù)列{an+1+αan}是以β為公比的等比數(shù)列，從而求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式.我們稱這種方法為特征方程法，其中x2=px+q稱為遞推關(guān)系的特征方程.

點(diǎn)評(píng)：特征方程法的實(shí)質(zhì)是：

故數(shù)列{an+1+αan}是以β為公比的等比數(shù)列.

六、利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系轉(zhuǎn)化

例6 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，Sn=4an+2.

（1）設(shè)bn=an+1-2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：（1）由a1=1，及Sn+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，則b1=a1-2a1=3.

②－①得an+1=4an-4an-1，an+1-2an=2（an-2an-1）.

又因bn=an+1-2an，即bn=2bn-1.故{bn}是首項(xiàng)為3、公比為2的等比數(shù)列.

以上六種方法是將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的主要方法，其目的在于轉(zhuǎn)化.只要我們?cè)诮忸}過程中靈活運(yùn)用，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，那么我們?cè)谇髷?shù)列通項(xiàng)公式問題時(shí)便會(huì)得心應(yīng)手.