中學數學中的幾個漸近線問題及處理對策

☉江蘇省昆山中學 戈 峰

中學教材中出現“漸近線”這個概念是在“雙曲線的簡單性質”這節中，概括為：曲線上的動點沿著曲線從某個方向向外延伸時，動點與某條直線無限地接近，但永遠不相交，那么稱此直線為曲線的漸近線（滲透極限思想）.中學數學的許多函數圖像和曲線都有漸近線，例如教材中涉及到的初等函數：反比例函數、指對數函數、正余切函數等.學生在學習過程中若能領會漸近線的內涵，就能對掌握某些函數的形狀、位置、大小等有很大的幫助.本文對中學數學中有漸近線的一些復雜函數進行討論，并對處理有漸近線的函數問題提供幾種策略.

一、分類討論

除了教材中我們比較熟悉的反比例函數、指對數函數、正余切函數圖像有漸近線外，我們經常碰到圖像有漸近線的函數主要有分式函數型與超越函數型.

1.分式函數型.

圖1圖2

以a>0，d>0，h>0進行分析：

對于①，f（x）關于x=k對稱，當x趨向于無窮時，a（x－k）2+h趨向于正無窮，則f（x）趨向于0，所以x軸是f（x）的漸近線.如圖3.

對于②，f（x）關于x=k對稱，當x趨向于無窮時，a（x－k）2趨向于正無窮，則f（x）趨向于0，當x趨向于k時，a（x－k）2趨向于0，則f（x）趨向于正無窮，所以x軸與x=k是f（x）的漸近線.如圖4.

對于③，當x趨向于無窮時，a（x－m）（x－n）趨向于正無窮，則f（x）趨向于0.當x趨向于m和n時，a（x－m）（x－n）趨向于0，則f（x）趨向于正無窮，所以x軸、x=m與x=n都是f（x）的漸近線.如圖5.

2.超越函數型.

（1）函數f（x）=xn·ex（n∈Z）.

當n=0時，f（x）=ex以x軸為漸近線；

當n>0時，f′（x）=xn－1·ex（n+x），易得f（x）在x=0處取得極小值，在x=-n處取得極大值；n為偶數時，f（x）在x=0處為拐點，在x=-n處取得極小值.而當x趨向于正無窮時，f（x）都趨向于正無窮.x趨向于負無窮時，f（x）趨向于0.所以f（x）=xn·ex以x軸為漸近線，如圖6（n=2）和圖7（n=3）.

二、應對策略

1.思想重視.

在學習函數性質時除了要重視函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、特殊點等性質外，也要重視函數圖像是否具有漸近線這一性質.

解析：畫出圖像如圖11，圖像的漸近線為y=1，要求y=m與y=有兩個交點，所以m∈（0，1）.

2.取倒數.

解析1：方程的一個解為x=0.

由分式函數型（2）討論可知，x軸，y軸是g1（x）的漸近線；x=-2，x軸，y軸是g2（x）的漸近線.

因此g1（x）和g2（x）圖像如圖12.

所以當k>1時，有三個交點，即方程有三個解.又x=0是方程的解，所以當k>1時，方程f（x）=kx2有四個不同的實數解.

解析2：方程的一個解為x=0.

作出函數圖像不難得到正確答案.通過取倒數，把分式函數化為整式函數，使復雜函數簡單化，而且回避了漸近線，作圖就不易犯錯.

3.換元.

例3 討論方程ax3-3x2+1=0的解的情況.

a=0，a=±2時方程有兩解；a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）時方程有一解；a∈（-2，0）∪（0，2）時方程有三解.

解析3：分析2雖然很直觀，但圖13還是很難畫出來的，

特別是漸近線，很容易忽略.那么能否避免呢？

函數中的漸近線問題是學生在學習函數時比較容易忽視的，本文針對此問題列舉了幾類常見函數的漸近線和處理策略.