一道數(shù)列競(jìng)賽題的另解

☉湖北省漢川一中 陳 春

題目 已知數(shù)列{an}滿足：a1=2t－3（t∈R，且t≠±1），

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若t>0，試比較an+1與an的大小.

這是2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷（A卷）第10題，該題綜合性較強(qiáng)，思維量較大，能力層次要求高，區(qū)分度較好.通過(guò)研究，筆者發(fā)現(xiàn)這道題還有別于參考答案的新思路、新解法，呈現(xiàn)出來(lái)和大家一起分享.

①當(dāng)n=1時(shí)，a1=2t－3，命題成立；

點(diǎn)評(píng)：遞推數(shù)列題型的考查，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求較高，而利用數(shù)學(xué)歸納法可以在一定程度上降低數(shù)列問(wèn)題證明的難度，學(xué)生操作起來(lái)也比較容易，因此數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)n有關(guān)命題的一個(gè)重要方法.

令f（t）=（2nt－2n－2）tn+2=2n·tn+1－（2n+2）tn+2（t>0），求導(dǎo)可得：

f′（t）=2n·（n+1）·tn－（2n+2）·n·tn－1=（2n2+2n）·tn－1·（t－1）.當(dāng)01時(shí)，f′（t）>0.所以f（t）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，即f（t）min=f（1）=0，故對(duì)t>0且t≠1，有f（t）恒大于零，因此an+1－an>0，即得an+1>an.

再令g（x）=tx·（xlnt－1）+1，則g′（x）=tx·lnt·（xlnt－1）+tx·lnt=tx·ln2t·x.因?yàn)閤>0，故g′（x）>0，所以g（x）在（0，+∞）上遞增.又g（x）在x=0處連續(xù)，g（0）=0，故對(duì)x>0，g（x）>0，所以f′（x）>0，即f（x）在（0，+∞）上遞增，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，即an+1>an.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列是一類定義在正整數(shù)集{1，2，3，…，n}或它的有限子集上的特殊函數(shù)，數(shù)列問(wèn)題常常蘊(yùn)含著函數(shù)的本質(zhì)和特征.解法1先作差，再構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，從而得到數(shù)列的單調(diào)性；解法2直接根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式構(gòu)造函數(shù)，然后通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性來(lái)得到數(shù)列的單調(diào)性.

數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一，在學(xué)習(xí)中應(yīng)重視函數(shù)思想的滲透，充分利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，以它的概念、圖像和性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁.通過(guò)數(shù)列與函數(shù)知識(shí)間的相互融合，使知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得以不斷優(yōu)化和完善，同時(shí)也會(huì)使我們的思維能力得以不斷發(fā)展與提高.