略談新課程背景下高中數學教材配套習題的改革

☉上海市建平中學 李 堅

我國中學數學課程改革在數學習題方面改革的方向是：“…突出通性通法，削弱特殊性質與運算技巧.如大量按類型分類的人為應用題，用因式分解等特殊技巧解方程、化減代數式等繁瑣的運算，嚴密地論證十分復雜的幾何問題，復雜的三角恒等式證明，和、差、倍、半角公式的數值應用，用紙筆解某些特殊的超越方程等等”.

與教材配套編寫的練習及習題其目標有三個方面：

1.再現教材中的公式、定理，以訓練學生鞏固在教材中所學的知識點的記憶.

2.對學生進行知識點的變式訓練，以加深學生對知識點的理解，掌握知識點的基本應用和數學基本方法.

3.對學生所學知識點進行必要的綜合，隱含較強的運算技巧，體現一定的數學方法和思想，以訓練學生達到熟練掌握知識點，提高數學能力和一般能力.

編制比較好的練習題可以很好地達到上面三個目標，但編制不好的題目不僅起不到上面的作用，而且會對學生的數學學習產生干擾，帶來負面作用.特別是在當前我國社會發展日新月異、基礎教育的內容一改再改的情況下，數學教育的目標與手段均與以前有很大不同.以前的許多所謂的好題已經“老邁”.在這里僅以高一數學第二冊第六章三角比為例（華東師范大學版）.

當前中學數學教材與各級測試中所用習題有以下三個問題值得關注.

一、解題方法陳舊，過度關注技能技巧

這種解題思路體現了“轉化與化歸”的一般數學思想，但在解題時首先需要考慮）的符號問題，即判斷角是銳角.其次需要記憶并運用兩個公式：sin2x+cos2x=1，cos（arccosx）=x，x∈［-1，1］，由于公式較多，造成學生解題時思維鏈過長，因而容易產生解題障礙.目前我國高中數學教材中三角比公式的記憶要求已經大大降低，但同角基本關系式，誘導公式，和、差、倍、半角公式卻還被要求記憶，難道不記住這些公式，這樣的問題就不能解決了么？

這種解法利用了三角比定義，比前一解法所用數學知識更一般，既擺脫了煩瑣的公式記憶與應用，又有利于學生理解“是一個銳角”的數學本質，有利于學生理解反余弦三角比的概念.

圖1

許多材料中會把前一種方法叫“代數法”，后一種方法叫“幾何法”或“數形結合”，而且中國傳統數學解題方法很強調“數形結合”，但更多的是把它作為一種解題技巧和方法，是以解決數學題目或更簡潔地解決數學題目為目的，但在中學數學教學過程中，學生解題活動的目的不是為了掌握解題技巧和解題方法，而是為了掌握數學概念，形成數學思想，這是以解決問題為目的的數學家的解題活動與學生的解題活動最本質的區別.所以教師在教學過程中向學生展示哪一種解題方法的依據不是哪一種方法簡單，而是哪一種方法更有利于學生理解最基本的數學概念，獲得最基本的數學思想.

二、題目語言陳舊、不嚴密

例2 求sin75°的值.

數學是一門準確而嚴密的學科，它要求語言要精確表達，不能造成歧義，此題是為訓練學生掌握公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ而設計的，但我們看到題目中并沒有明確要求利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ求，所以，若學生利用計算器求sin75°也沒有錯（例題1中也存在這樣的問題），但這顯然背離了命題者的意圖，而這種背離是命題者的錯誤，不是解題者的錯誤.在沒有計算器以前，學生只能用公式，這樣敘述還沒有什么問題，但有了計算器以后，許多本來只能用公式解決的問題可以改用工具（計算器等）解決，這種敘述就出現問題了.因此，此題更標準的敘述應該是：“利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ求下列各三角比”或“求下列三角比的精確值”（若學習完二倍角公式后還可以用二倍角公式解決）.

三、各種測試題題量偏大，題目運算量偏大，運算速度仍然是數學測試取得好成績的基礎

例3 在△ABC中，已知內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,c4-2（a2+b2）c2+a4+a2b2+b4=0.求內角C的大小.

此題是為了訓練學生掌握余弦定理的應用而設計的，但在用余弦定理以前，需要學生把式子變形成［c2-（a2+b2）］2=a2b2，顯然這么復雜的因式分解不是多數學生能夠輕松完成的，此題由于因式分解這一難點，造成出題目標與實際解題效果的背離，并對學生產生誤導，因為這么復雜的因式分解沒有必要讓學生掌握，從而浪費學生大量時間.我們要提高題目的難度，不是增加運算的難度，而是應當增加開放題、探索題、體現時代特點的應用題，加大題目中對基本數學概念與數學思想的考查，加大對基本數學能力和一般能力的考查.

周雷鳴和胡意香的調查顯示，浙江奉化一年級（7歲）學生在15分鐘內完成90道100以內的加減法運算，較差的學校平均用時9分52秒，平均成績87.4，通過率96%.張奠宙老師以為“我們可能對在校學生的計算速度過分苛求了，但對于速度的要求仍是中國數學教學的目標之一.”這種對解題速度的苛求，擠占了學生動手、動口、動腦及提出和解決實際問題的時間，使數學教學改革的新理念無法真正貫徹到教學實踐之中，大多數數學課堂教學仍然“舊瓶裝新酒”.

傳統高中數學教學強調的三種基本能力“計算能力、邏輯推理能力、空間想象能力”在新課程改革背景下被“數學抽象能力、數學符號變換的能力、數學應用能力”所代替.這種替代是社會進步的必然，在上世紀五六十年代，我國沒有計算機，科學研究所需要的大量數學運算需要人工完成，培養計算能力是那一時代的需要，到了計算機普及的21世紀，我們再培養速算人才，除了娛樂的需要不再有很大的實際意義.

課程內容要從整體上體現改革的理念和精神，而不僅僅表現在教材中數學知識的編排上，與教材中數學知識相配套的數學習題是教材的重要組成部分，也應當與新的課程概念理念與精神相一致，畢竟，學生是通過做數學習題來掌握數學知識的.

1.顧泠沅等.尋找中間地帶——國際教育改革的大趨勢［M］.上海：上海教育出版社，2004.

2.華東師范大學出版社.高一第二學期數學，第57頁.

3.數學（練習部分）高中一年級第二學期.華東師范大學出版社，2000，第21頁（15）.

4.張奠宙，戴再平.中學數學教學中的“雙基”和開放題問題解決［J］.數學教育學報，2005，11（4）：1—8.