確定直線與圓位置關系的四種有效途徑

☉江蘇省沭陽高級中學 汪 玉

直線與圓的位置關系是高考考查的重點內容之一，它常常與平面幾何、圓的知識及直線的斜率、截距等知識進行綜合，結合數學思想、方法，考查考生的能力.為了幫助同學們更好地學好直線與圓的位置關系，為此從以下幾個途徑闡述如何借助直線與圓的方程判定其位置關系.

已知直線l：Ax+By+C=0（A、B不能同時為0），圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）.

一、代數法

例1 （2008年遼寧高考）圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點的充要條件是（ ）.

分析：研究直線與圓沒有公共點的取值范圍問題，可以利用聯立直線與圓的方程消去y（或x）得到的關于x（或y）的一元二次方程，借助方程根的判別式Δ<0建立不等關系求解即可.

二、幾何法

數形結合思想是解析幾何中重要的數學思想，這里的“數”包括代數式、函數解析式、方程等；“形”則主要是指有形的數學用具、數學模型和幾何圖形與直角坐標系下的函數圖像.數形結合指的是借助于直觀形象模型和函數圖像等理解抽象的數學概念以及抽象的數量關系.現談談如何運用數形結合的方法來處理直線與圓的位置關系.

解析：若m<0，則符合題意的條件是：直線x＋y＝2m＋1與圓（x－2）2+y2=m2有交點，從而由與m<0矛盾.

若m＝0，則代入后可知A∩B=?.

點評：本題主要考查集合概念、子集及其集合運算、線性規劃、直線的斜率、兩直線的平行關系、點到直線的距離、圓的方程、直線與圓的位置關系、分類討論、解不等式.

三、三角換元法

對于圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2，令x-a=rcosθ，y-b=rsinθ，θ∈［0，2π），即圓C的任意點都可表示為（a+rcosθ，b+rsinθ）（θ∈［0，2π））.根據三角函數圖像（或三角函數線）及函數y=msinx+可知方程msinx+ncosx=t在區間［0，2π）內的解的情況為：當時有一解；當|時無解.于是將圓C上的點（a+rcosθ，b+rsinθ）代入Ax+By+C=0，得A（a+rcosθ）+B（b+rsinθ）+C=0，即Arcosθ+與|Aa+Bb+C|的關系來確定：直線l與圓C相交；直線l與圓C相切；Bb+C|?直線l與圓C相離.

例3 若過點A（4，0）的直線l與曲線C：（x-2）2+y2=1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為（ ）.

分析：研究直線與圓有公共點時的取值范圍問題，可以借助方程思想利用判別式Δ≥0建立不等式關系進行求解；也可以根據幾何性質，借助直線與圓有公共點時的圓心到直線的距離d≤r（圓的半徑）建立不等關系進行求解；倘若三角換元（圓的參數方程），活用三角知識得到使得直線與圓有公共點的等價條件，求解格外簡練，從中定能體會數學解題的奧妙所在，韻味無窮.

解析：設過點A（4，0）的直線l的方程為y=k（x-4）.

曲線C：（x-2）2+y2=1上的任意點（2+cosθ，sinθ），則sinθ=k（cosθ-2），即sinθ-kcosθ=-2k.

四、轉化法

若動直線l過定點P（x0，y0），根據定點P與圓C的位置關系進行轉化來確定：|PC|r?定點P在圓C外?直線l與圓C相切、相交或相離（其中|PC|表示點P與圓心C的距離）.

PC

例4 已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25，動直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）.求證：無論實數m取何值，動直線l與圓C總相交于兩點.

分析：通常情況下，研究直線與圓的位置關系時，可聯立直線與圓的方程消元整理成關于x或y的一元二次方程，借助判別式判斷方程解的情況確定直線與圓的位置關系，運算量很大；也可以利用圓心到直線的距離與半徑的比較來確定.但是本題中的距離的最值求解相當復雜，為此抓住動直線過定點這一幾何性質，根據定點到圓心的距離與圓的半徑進行比較（點與圓的位置關系）來解決問題特別簡便.

證明：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化為（2x+y-7）m+x+y-4=0.

故無論實數m取何值，直線l與圓C總相交于兩點.