對一道函數絕對值問題的探究

☉江蘇省華羅庚中學 于亦香

絕對值問題一直都是高考的熱點，其題目類型也十分豐富，遇到絕對值問題，我們通常的做法是去絕對值，或考慮其幾何意義，筆者現就平時遇到的絕對值問題做如下探究，以期對讀者有所幫助.

引例 已知f（x）=|x+1|+|x-a|關于x=1對稱，則不等式f（x2-3）

解決這道題目之前我們先來探究f（x）=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|（其中a1

當n=1，f（x）的圖像就是將y=x-a1在x軸下方的圖像翻折到x軸上方；

當n=2時，先去絕對值，故原函數可化為

根據以上4種情況的分析，我們歸納出更一般的情形.

結論：對于f（x）=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|（其中a1

我們回過頭來看上文的引例，f（x）=|x+1|+|x-a|的圖像關于x=1對稱，根據圖像，我們發現x2-3到1的距離一定比x-1到1的距離近，且x-1不在［-1，3］之間，所以，我們可以得到以下關系：

本題中f（x）的圖像正是上述探究中n=2的情形，有了這個結論作鋪墊，題目解答就簡單多了，如果再多一些絕對值呢？

已知函數f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2007|，且f（a2-3a+2）=f（a-1），則a的范圍是_________.

該題是n為偶數的情形，畫出的圖像一定是關于y軸對稱的，所以有a2-3a+2=a-1或者

對于函數f（x）=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|，我們還可以從絕對值的幾何意義入手，如當n=2時，在數軸上依次取點A、B，以表示數a1、a2，f（x）表示數軸上一點P到A、B的距離之和.當P點在以A、B為端點的線段上時，PA+PB最小，為a2-a1；當n=3時，在數軸上依次取點A、B、C，以表示數a1、a2、a3，f（x）表示數軸上一點P到A、B、C的距離之和.當該點在以B處時，和最小，為a3-a1；當n=4時，在數軸上依次取點A、B、C、D，以表示數a1、a2、a3、a4，f（x）表示數軸上一點P到A、B、C、D的距離之和，當該點在以B、C為端點的線段上時，該和最小，為a4-a1+a3-a2.

利用絕對值的幾何意義解題，顯然可以簡化運算，尤其對解決填空題很有幫助.

例1 |x-4|+|x-2|+|x-1|+|x|≥a對一切實數x成立，則a的最大可能值為_________.

解：解這道題時如果去絕對值，肯定浪費大家很多時間，如果我們考慮幾何意義，那很快得出|x-4|+|x-2|+|x-1|+|x|的最小值為5，所以a≤5，即答案為5.

例2 在平面直角坐標系xOy中，設點P（x1，y1）、Q（x2，y2），定義d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|.已知點B（1，0），點M為直線x-2y+2=0上的動點，則使d（B，M）取最小值時的點M的坐標是___________.

以上幾道題似乎是圍繞著結論而設計的，因此只要我們吃透結論，那么很多問題我們解決起來就非常容易了.筆者寫這篇文章不是要給出一個結論，而是希望同學們對平時遇到的問題不能做過或者會做就扔，我們要做一個有心人，收集相關題目，深入探究，挖掘問題的本質，這對于我們提高分析問題、解決問題的能力非常有用.