解決一元二次方程根的分布問(wèn)題的基本策略

☉湖南省永州市第一中學(xué) 唐長(zhǎng)軒

一元二次方程根的分布問(wèn)題一直是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，由于它常和其他知識(shí)形成交匯，近年來(lái)一直是高考中的熱點(diǎn)，然而在解答過(guò)程中大家往往因?yàn)樗伎紗?wèn)題不全面而出錯(cuò)，因而這個(gè)內(nèi)容對(duì)大家來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn).下面就以一道常見的習(xí)題為例談?wù)劷鉀Q這類問(wèn)題的基本策略.

題目：關(guān)于x的方程x2+（m－1）x+1=0在區(qū)間［0，2］上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

一、數(shù)形結(jié)合

解法1：令f（x）=x2+（m－1）x+1.方程x2+（m－1）x+1=0在［0，2］上有一解，f（0）=1>0，得f（2）≤0，則在［0，2］上有兩解，則解得≤m≤－1.綜上可知m≤－1.

圖1

解法2：x2+（m－1）x+1=0化為x2+1=（1－m）x，則由題意可知函數(shù)f（x）=x2+1的圖像與g（x）=（1－m）x的圖像在x∈［0，2］時(shí)有交點(diǎn).易由導(dǎo)數(shù)知識(shí)求得拋物線f（x）=x2+1的過(guò)原點(diǎn)的切線方程為y=2x（y=－2x舍去），切點(diǎn)是（1，2），只需直線g（x）=（1－m）x的斜率1－m滿足1－m≥2即m≤－1時(shí)，f（x）=x2+1的圖像與g（x）=（1－m）x的圖像在x∈［0，2］時(shí)一定有交點(diǎn)，故方程x2+（m－1）x+1=0在區(qū)間［0，2］上有解時(shí)，m≤－1.

二、正難則反

解法3：先求出該方程在區(qū)間［0，2］上無(wú)解時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍，再在實(shí)數(shù)集R上取其補(bǔ)集.易知原方程在區(qū)間［0，2］上無(wú)解，則有三種情形：如圖1、2、3所示.

圖3 圖4

若為圖1，則△<0?（m－1）2－4<0，即－1

取三種情況的并集，得m>－1.故所求m的取值范圍為（-∞，-1］.

三、等價(jià)轉(zhuǎn)化

最后要特別強(qiáng)調(diào)的是以上幾種策略并不是孤立的，它們往往相互滲透，在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)會(huì)用到多種方法.