把握問題本質 探究通性通法

☉江蘇省錫山高級中學 管恩臣

探究性教學是課堂教學的一種方式，其宗旨是讓學生通過探索的方式解決問題，促進學生自主活動和積極思考，從而使學生的知識技能、興趣和愛好得到和諧發展.采用這種教學方式的關鍵是選擇好探究的問題，讓學生多方尋求答案，解決疑問，并從中發現規律，把握問題本質，使探究活動富有意義.

一、問題設計的背景

圖

蘇教版數學5第一章復習題有這樣一個問題：

如圖1，已知A為定角，P、Q分別在A的兩邊上，PQ為定長.當P、Q處于什么位置時，△APQ的面積最大？

教材參考書提供了如下解法.

設A=α，PQ=a，AP=x，AQ=y，其中α、a為定值.

這個解法用到了重要不等式：x2+y2≥2xy，而關于不等式的知識要在數學5的第三章學習，顯然用這個解法不現實.這又是一道非常好的題目，于是教師在本章復習課把它當做一個探究材料，與學生一起探索這道題目的解法，收到非常良好的效果.

二、教學實錄和分析

1.解法探索.

例 如圖1，已知A為定角，P、Q分別在A的兩邊上，PQ為定長.當P、Q處于什么位置時，△APQ的面積最大？

問題呈現給學生后，讓學生探索5分鐘.

教師：學生1以角為變量，根據正弦定理表示出兩邊，充分運用了已知一邊及其對角這個條件.除了這個解法外，同學們還有沒有其他解法？

教師：有沒有同學幫助他解決這個問題？

學生3：由AP2+AQ2=（AP+AQ）2-2AP·AQ，可得PQ2=（AP+AQ）2-2AP·AQ（1+cosA），只要求AP+AQ的最大值就可以了，同學們感覺很有道理！

學生把a2+b2變形成（a+b）2-2ab這一想法很自然，不過對于本題不使用基本不等式來說，這樣變形意義不大.

教師：AP+AQ的最大值怎么求呢？學生3說暫時沒想好.

學生沉思了一會兒以后，學生4舉手：AP2+AQ2=（AP-AQ）2+2AP·AQ，所以PQ2=（AP-AQ）2+2AP·AQ（1-cosA），只要求（APAQ）2的最小值就可以了，至此，該問題得以解決！

學生把a2+b2變形成（a-b）2+2ab這一想法就有很大跳躍性，之前較少接觸！

教師點評：兩種解法是從解三角形的基本方法正弦定理和余弦定理出發，努力構建目標函數，實踐中學生運用解法1變形思路常規但運算煩瑣，解法2運算簡潔但技巧性強.兩種解法出發點都非常自然，用到的知識是解三角形的核心知識，過程中的變形尤其是解法1中的變形是常用方法，充分說明例題是一道入口寬、意境深的好題！值得探索.

2.歸納本質.

變式：（2009福建高考理科）如圖2，某市擬在長為8km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數y=Asinωx（A>0，ω>0，x∈［0，4］）的圖像，且圖像的最高點為；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP=120°.應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？

圖2

學生很快得到兩種解法.

解法1：在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5.設∠PMN=θ，則0°<θ<60°.

由0°<θ<60°，得當θ=30°時，折線段賽道MNP最長.

將∠PMN設計為30°時，折線段道MNP最長.

解法2：MP2=NM2+NP2-2NM·NPcos∠MNP，即25=NM2+NP2+NM·NP=（NM+NP）2-NM·NP，則只要求出NM·NP的最大值即可.

教師：例題和變式題中的（2）解法相似，這兩個題目問題情景有什么共同特征？

學生：都是已知三角形的一條邊及其對角.

教師：所求的問題本質上分別是什么？

學生：例題是求另兩邊積的最大值，變式題中的（2）求另兩邊和的最大值.

教師點評：這類問題的本質是：已知三角形的一條邊及其對角求另兩邊積或和的最值問題，以另一角為變量，應用正弦定理，構建目標函數，是非常自然的想法；應用余弦定理也非常好，因為余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可變形成a2=（b-c）2+2bc-2bccosA，這樣余弦定理與兩邊和、兩邊差可以直接建立聯系.

3.最值變化規律背景探索.

蘇教版數學5第17頁的第12題：如圖3，已知圓內接四邊形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，如何求四邊形ABCD的面積？

學生上節課曾解過這個問題，現拓展：如圖4，若A、B、D為定點條件不變，當點C在優弧BD上運動時，四邊形ABCD面積何時最大？

圖3圖4

學生5：連接BD，要使四邊形ABCD面積最大，只要△BCD面積最大，而BD是定值，只要C到BD的距離CE最大即可，即CE過圓心時四邊形ABCD面積最大.

教師：這個拓展問題和例題、變式題中的（2）有什么聯系？

學生6：點C在優弧BD上運動時∠BCD大小不變，線段BD長度不變，同時所求最大值就是求CB·CD的最大值，和例題一樣.

教師：對，同弧所對圓周角相等，所以保持∠BCD大小不變！除了學生的直觀觀察外，還能想到什么方法？

學生7：說出例題和變式題中的（2）的兩種解法

教師：你能說出變式題中的（2）中點N的軌跡嗎？學生8：根據題意應該是在一段劣弧上，如圖5所示.教師：當角的頂點在圓上運動時，保持了角的大小不變，例題能否從這個角度來看呢？

學生9：可以假設線段PQ不動，點A在△APQ的外接圓上運動，這個過程中，A的大小保持不變，效果相當于點A不動線段PQ在動！如圖6.此時，教室響起一陣掌聲！

圖5圖6

三、教學設計的反思與感悟

本節課圍繞已知三角形的一條邊及其對角，求另兩邊積或和的最大值（同一時刻取得）的問題，放棄了教材參考書中的解法，從學生熟悉的正、余弦定理出發，師生、生生互動嘗試、修正，一步步向目標前進，最終獲得此類問題的兩種解法，同時挖掘出幾何規律！在這個過程中，教師要能夠設計好探索的素材，把握好問題的本質，引導學生從不同的側面和角度進行探索，設計中還應注意：

1.一題多解要重視通性通法.

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數量關系，用不同解法求得相同結果的思維過程.教學中適當的一題多解，可以激發學生去發現和創造的強烈欲望，加深學生對所學知識的深刻理解，訓練學生對數學思想和數學方法的嫻熟運用，鍛煉學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨創性，從而培養學生的思維品質，發展學生的創造性思維.

2.多題一解要抓住本質.

盡管數學習題浩如煙海頭緒萬千，但正如一切事物都有自己的規律一樣，解數學題也有規律可循有方法可依，某些習題由于它們所反映的數量關系和空間形式存在相似之處，則可以串連起來考慮，提煉出共性，把握問題的本質，多題歸一.為此，應該在學習中重視探索、自覺摸索解不同題目的規律，并依據這個規律去思考分析，不斷豐富解題經驗.長期堅持，遇到新問題就能思維活躍判斷準確，有法可循，就能掌握多題一解的金鑰匙.

3.立足教材靈活多變.

從近幾年江蘇高考題來看，把考查學生的能力和素質放在了首位的同時，也未忽視對基礎知識、基本思想方法的考查，這些基本知識主要表現在課本例題和習題及其變形上.教師自己在平時的教學中要鉆研教材，精心設計一題多解和一題多變的練習題，并能對相似的多題進行歸納，找出本質上的共性，多題一解，培養學生舉一反三的能力，讓學生在有趣的學習中探索知識，使他們靈活運用知識的技能、技巧得到提高.而在課堂上，師生互助，生生互助，共同努力，體驗探索數學本質與規律的樂趣.