正弦定理惹的禍?

☉湖南科技學院數學與計算科學系 周宇劍

一、問題的引出

剛學完正弦定理，小明先后做了以下幾道題：

小明第（1）題填了60°，同桌說他錯了.小明想了想，發現自己丟掉了和60°正弦值相等的120°角.

小明接著做第（2）題時，很得意地填了30°或150°.但同桌又說他錯了.小明疑惑了，這次考慮到和30°正弦值相等的150°角，怎么又錯了呀？仔細一想，發現150°不符合題目要求.

小明更仔細地計算完第（3）題，說“這下總該對了吧？”，與同桌一對照，兩人的答案不同，仔細對比了一下，求c邊的結果一樣，之后的解法不一樣，他倆的具體解法如下.

故B=75°或105°.

當B=75°時，A=180°-B-C=75°.

當B=105°時，A=180°-B-C=45°.

仔細看完解題過程和步驟后，小明和同桌都茫然了，真看不出來到底誰的解法有問題？小明拍拍腦袋說：“哎，都是正弦定理惹的禍！到底怎么做才能對啊？”

二、問題探究及解決策略

對剛學完正弦定理的學生來說，很容易出現上述錯誤.這幾道題目涉及到已知兩邊和一角解三角形的問題.這類問題又分為兩種類型：已知兩邊及一邊的對角和已知兩邊及它們的夾角.現就這兩種類型的問題分析如下：

1.已知兩邊及一邊的對角.

在△ABC中，已知BC=a，AC=b，A（0°＜A＜180°），求B.

該問題需分三種情況討論.

（1）當a>b時（已知角的對邊大于所求角的對邊）.

（2）當a=b時（兩已知邊相等）.

若90°≤A＜180°，由B=A，知原題無解；若0°＜A＜90°，由B=A，知原題有一解.（3）當a＜b時（已知角的對邊小于所求角的對邊）.

教學過程中要提醒學生在實際解題中要注意判別已知條件中的兩邊之間的關系，依情況和是否具有實際意義而解.

2.已知兩邊及它們的夾角.

在△ABC中，已知BC=a，AC=b，C（設a＜b，0°＜C＜180°），求A和B.

這種類型的題目如果按照上種類型用正弦定理來求角，均要考慮A或B是否為鈍角，如果為鈍角時又要驗證是否有實際意義，則解題既加大了計算量，又耽誤時間.教學中要幫助學生理解判斷三角形全等的方法中就有邊角邊（SAS）判定定理，因此，已知兩邊及它們的夾角時，能夠唯一確定三角形.故此類型必定有唯一解.此類問題的解題思路：

方法1：用余弦定理求A或B（唯一確定解），再用三角形內角和定理求出另一角.這種計算免去了對所求角是銳角還是鈍角的思考，但計算量稍微大一點.

方法2：用正弦定理求A或B，再用三角形內角和定理求出另一角.這種方法計算量相對簡單些，但一些初學的同學理不清頭緒，現剖析如下.

（1）當90°≤C＜180°時.

此時，A、B均為銳角，可用正弦定理任意求A或B的值，原題有一解.

（2）當0°＜∠C＜90°時.

求出c后，比較a、b、c的值.

若c值最小，即c＜a＜b，則用正弦定理求出a、b中較小邊a所對的角A，因為a＜b，所以A不能為直角或鈍角，原題有一解.

若c值處于中間位置，即a＜c＜b，則A＜C＜B.先用正弦定理求最小邊a所對的A，由于A最小，故A不能為直角或鈍角，原題有一解.

若c最大，即a＜b＜c，則A＜B＜C.A、B均為銳角，原題有一解.

前面小明與同桌做的第3題表面上解得很好，但都存在問題.在已知條件中包含一個隱含條件：a＜b，所以，在△ABC中，A＜B.因此，小明的解法中A=135°、B=15°這個結果要舍去；小明同桌的解法中A=75°、B=75°這個結果要舍去.

已知三角形的兩邊及它們的夾角，求其余兩角的問題解題策略：求出第三邊c的值后，比較三條邊a、b、c的大小，可用正弦定理求出已知邊a與b中較小的邊所對的角，這個角就不可能是鈍角或直角，可直接確定該角的值.這樣就避免了用正弦定理時討論各角是銳角還是鈍角的煩惱.