例談函數思想在二項式中的應用

☉江蘇省泗洪中學 陸長龍

二項式定理是高中數學的重要內容之一，也是高考的一個重要的知識點，大都以填空題或選擇題等小題的形式出現在考卷中.縱觀近幾年的高考試卷，考生在這一塊的得分并不理想.究其原因，是考生一見題型熟悉，不經過認真審題，匆匆作答，結果“會而出錯”，這主要是高考解題中的“心理型錯誤”所致；再者由于方法不當，導致運算煩瑣，會做而得不到結果，使得解題思路中斷，這主要是高考解題中的“策略性錯誤”所致.為了盡量減少解題過程中的不必要的麻煩，避免解題中的一些“廢招”，同時注重數學思想方法在解題中的應用，下面就通過例題來談一談函數思想在二項式中的一些應用.

例3 若（x-2）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，則a1+a2+a3+a4+a5=______.

解：構造函數f（x）=（x-2）5，則f（0）=a0=-25=-32，f（1）=-1=a0+a1+a2+a3+a4+a5，故f（1）-f（0）=a1+a2+a3+a4+a5=-1+32=31.

例4 已知（1-x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則（a0+a2+a4）·（a1+a3+a5）的值等于______.

解：構造函數f（x）=（1-x）5，則f（1）=a0+a1+a2+a3+a4+a5=0，f（-1）=a0-a1+a2-a3+a4-a5=25，從兩個方程可解得：a0+a2+a4=-（a1+a3+a5）=16，所以（a0+a2+a4）（a1+a3+a5）=-256.

例5 已知（1-2x）9=a0+a1x+…+a9x9，則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=_____.

分析：由題易知展開式的偶數項系數均為負數，奇數項系數均為正數，因而可構造函數f（x）=（1-2x）9.

令x=-1即可.

解：構造函數f（x）=（1-2x）9，則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=f（-1）=39.

例6 若（1-2x）2008=a0+a1x+a2x2+…+a2008x2008，則（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2008）=______.

分析：由（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2008）=2007a0+（a0+a1+…+a2008），因而可構造函數f（x）=（1-2x）2008.

解 ：構造函數f（x）=（1-2x）2008，則f（1）=a0+a1+…+a2008=（1-2）2008=1，f（0）=a0=1.

（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+ … +（a0+a2008）=2007f（0）+f（1）=2008.

同樣利用函數的思想還可以非常方便地求出如下各題的解.

1.已知（1-2x）7=a0+a1x+…+a7x7，則a1+a2+…+a7=______.

3.已知（3x-1）7=a0+a1x+…+a7x7，求：

（1）a1+a2+…+a7；

（2）a1+a3+a5+a7；

（3）a0+a2+a4+a6.

4.已知（3-2x）5=a0+a1x+…+a5x5，則a2+a3+a4+a5=______.

5.設（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+…+anxn，當a0+a1+a2+…+an=254時，n等于______.

6.設（x+1）4（x+2）5=a0+a1（x+3）+…+a9x9，求（a0+a2+a4+a6+a8）2-（a1+a3+a5+a7+a9）2.

從上面幾個例題的解法中我們可以清楚地看出，上面的幾個例子的解法并未用到所謂的二項式定理的知識點，對所給的恒等式主要是利用函數的思想和特殊與一般的基本思想，方法簡潔，思路清晰，將求代數式值的問題最終轉化成求函數值的問題，充分體現了函數思想在整個高中數學中舉足輕重的地位，也更進一步體現了高考注重對數學思想方法的考查，注重以能力立意的高考命題思路，不拘泥于學科知識的束縛，更多地著眼于一般的思想方法.