發散式教學：培養學生數學思維品質的有效嘗試

☉江蘇省南通市天星湖中學陳建清

發散式教學，是根據學生已掌握的知識信息，從不同角度、沿著不同的方向去思考問題；多層次、多角度、全方位地重新組合記憶系統中的信息，達到解決新的問題的教學形式.

高中數學習題課教學的目的不僅是讓學生掌握已學的公理、定理，更重要的是掌握科學的思維方式、方法.培養和拓展學生的發散思維能力，對提高其數學素養有著舉足輕重的作用.怎樣培養學生的發散性思維呢？概括地說，要為學生提供展示發散性思維的機會，安排能激勵學生發散性思維的環境，逐步培養學生廣范圍、多角度地思考問題和解決問題的習慣.下面結合實例，談談作者在數學習題課教學中培養學生發散思維能力的一些做法.

一、通過經典例題的變式訓練，培養學生的思維的變通性

經典例題是教師教學、同行研究的多年積累，對學生學習還是有一定的指導作用，教學中還是有“用武之地”，變式教學的本身也有發散性和變通性.

例1 （必修2習題）在三棱錐A-BCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

變式1：在三棱錐A-BCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，且AC=BD，求證：四邊形EFGH是菱形.

變式2： 在三棱錐A-BCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形？

變式3：在三棱錐A-BCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，AC=6，BD=8，求EG2+FH2的值.

變式4：在三棱錐A-BCD中，E、F分別是邊AB、BC的中點，H、G分別是邊AD、CD上的點，且AH：HD=CG：GD=3：2.判斷EH與FG是否相交，如果相交，交點與BD存在什么樣的位置關系？

二、通過一題多解的訓練，培養學生思維的廣闊性

一題多解是用多個知識點、多種方法去處理同一數學問題.運用這樣的教學方式，可以培養學生的發散思維能力.

分析：要使偶次根式有意義，即x2-ax+1≥0在［1，+∞）上恒成立.

解法1：轉化為求函數g（x）=x2-ax+1在［1，+∞）上的最小值.若最小值大于或等于0，則其函數值均滿足條件.

解法2：轉化為不等式所對應的函數g（x）=x2-ax+1在［1，+∞）上的圖像恒在x軸的上方.

掌握解決同一問題的多種解答方法，既拓展了思維空間，又能培養思維能力，使思維活動得到極大的發散，達到培養學生思維廣闊性的目的.

三、通過多層次思維的訓練，培養學生思維的深刻性

精心設計有層次、有坡度、要求明確的練習題，逐步加深問題的難度，引起學生思維逐漸加深，促進思考各數學知識之間的聯系，有效地培養學生思維的深刻性.

（1）若f（x）的定義域為R，求實數a的取值范圍；

（2）若f（x）的值域為R，求實數a的取值范圍；

（3）若函數f（x）的定義域為（-∞，1）∪（3，+∞），求實數a的值；

（4）若函數f（x）的值域為（-∞，-1］，求實數a的值；

（5）若函數f（x）在（-∞，1］內為增函數，求實數a的取值范圍.

本題一題多問，5個問題引導學生將思維活動走向深入，問題難度依次加大，從基本規律的應用到綜合解題，能力要求越來越高，是培養學生思維能力好的題組.

解答思路：（1）根據對數函數的定義，得真數大于0恒成立即可，即Δ<0.（2）利用對數函數的圖像，得真數要取盡一切正數，即Δ≥0.（3）利用一元二次不等式與一元二次方程之間的關系，得1、3為二次方程x2-2ax+3=0的兩個根.（4）利用函數值為-1時相對應的x的值必須要存在，得只能在二次函數y=x2-2ax+3的對稱軸處取得.（5）利用復合函數的單調性的求法，別忘了函數在（-∞，1］處必須有意義.

將一類問題巧妙地設計成題組，由淺入深，不需要教師灌輸，學生通過自己的努力，解決了一系列問題，嘗到成功的喜悅，增強了學習的信心，不再一味地害怕較難的數學題.因此教師要善于通過設置低起點、小臺階式的練習，把學生的理解逐步引向深入，使數學思維能力得到提高.

四、通過逆向思維的訓練，培養學生思維的求異性

逆向思維屬于發散性的求異思維，在平時教學中，我們發現一部分學生只習慣于順勢思維，而不習慣于逆向思維.為此，在引導學生分析題目時，可以從問題入手，利用逆向思維，推導出解題的思路，培養學生對數學問題的逆向思維能力.

例4 如圖1，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過A作PA⊥面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求證：

（1）BC⊥面PAC；

（2）PB⊥面AMN

圖1

分析：要證PB⊥面AMN，即證PB垂直于面AMN內的兩條相交直線，已知AM⊥PB，另一條直線如何找呢？利用逆向思維思考分析：PB⊥面AMN?PB⊥AN?AN⊥面PBC?AN⊥BC，由（1）得AN⊥BC顯然成立，即原命題得證.

本題的分析過程表明，某些問題既可正向思考也可反向推理，而所用到的定理、公理又都具有因果關系，因此在解題中可靈活運用已學知識進行逆向思維，從結論反推到條件，從結果逆推尋找結論成立的充分條件，對解決問題有很大的好處，可培養學生的逆向發散思維，有利于提高學生的創新能力.

五、通過知識的遷移訓練，培養學生思維的遷移性

思維的正遷移就是利用已有知識解決新的問題，從問題出發，聯想與問題有關的所有知識，去分析問題、解決問題，使知識在遷移中發散，在發散中又促進了知識的正遷移，從而優化思維發展，提高了學生分析問題和解決問題的能力.

分析：這是一道高考題，對考生的綜合要求比較高.學生在看到這種比較復雜的問題時有排斥心理，因為這類問題必須用多種知識、多種數學方法去解決.

解決這道題的關鍵是善于將我們所學的與此題相關的知識遷移過來，本題中在已知條件部分，可以遷移分段函數知識、函數圖像間交點個數問題的處理方法，將純粹的代數問題遷移到用幾何問題（數形結合）去解決.為此，在解決該問題時，先進行審題，逐步引導學生思考以下幾個問題：

（1）畫出函數y=f（x）的圖像；

（2）討論直線y=m（m∈R）與y=f（x）的圖像的交點的個數；

（3）適時提出f2（x）+bf（x）+c=0，它是以f（x）為整體的一元二次方程，f（x）最多只能取兩個值，結合圖像，要使原方程有七個不同的實數解，f（x）只能取哪些值？

通過以上學生已經熟練掌握的知識，使學生能順利地解決問題，提高了教學效果，促使學生正遷移的形成，學會如何分層次地思考問題，更重要的是開拓了學生的眼界，豐富了經驗和學習方法，為學生思考和解決綜合問題建立一個可行的思考方法.

綜上所述，教學活動的主體——對學生解題方法的指導，是激發和培養學生發散思維的一個重要環節之一.在解題中，不僅要使學生明確解什么，如何解，還要給學生一個自由發揮的思考空間，發散思維的廣度，提出自己的新見解.通過發散思維的訓練，使學生的思維水平上升到一個新的臺階，培養了學生科學解題的思維方式和方法，提高了學生的思維品質，實現了由知識向能力的升華.