柯西不等式在解析幾何中的應(yīng)用

☉湖北省襄陽市第一中學(xué) 黃 濤 王 勇（特級教師）

柯西不等式具有對稱和諧的結(jié)構(gòu)，應(yīng)用的關(guān)鍵在于抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，找準(zhǔn)解題的正確方向，合理地變形、巧妙地構(gòu)造.作為新課程的選修內(nèi)容，柯西不等式（簡記為“方和積不小于積和方”）在數(shù)學(xué)的多個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，不僅在代數(shù)方面能夠幫助我們解決問題，而且在解決解析幾何問題時也給我們帶來極大的方便.下面分類例析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

一、研究最值問題

圖1

例1 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形AOB的一直角邊為1，在此三角形內(nèi)任取點P，過P分別引三邊的平行線，與各邊圍成以P為頂點的三個三角形（圖中陰影部分），求這三個三角形的面積和的最小值以及達(dá)到最小值時P點的位置.

分析：此題需要設(shè)出P點坐標(biāo)，并用其表示出三個三角形的面積之和，再利用柯西不等式求最值.

解析：由題意可知，AB所在直線的方程為x+y=1，設(shè)P點坐標(biāo)為P（xP，yP），則以P為公共頂點的三個三角形的面積和為

評注：解此題的關(guān)鍵是用P點的坐標(biāo)表示出三個三角形的面積.觀察圖形，可以看出：靠近x軸的等腰直角三角形的直角邊長為yP，靠近y軸的等腰直角三角形的直角邊長為xP，靠近斜邊的等腰直角三角形的直角邊長為1-xP-yP.

例2 試用柯西不等式推導(dǎo)平面上點到直線的距離公式.

解析：已知點P1（x0，y0）及直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）.設(shè)點P2（x1，y1） 是直線l上的任意一點，則Ax1+By1+C=0，①|(zhì)P1P2|=

P1、P2兩點間距離|P1P2|的最小值就是點P1到直線l的距離，下面求|P1P2|的最小值.

根據(jù)柯西不等式，得：

將①、②代入上式，得：

當(dāng)且僅當(dāng)A（y0-y1）=B（x0-x1），即P1P2⊥l時，③式取等號.

故點P1（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離公式為

評注：本題通過利用柯西不等式求兩點間距離的最小值而推導(dǎo)出點到直線的距離公式，思維簡約，過程簡捷.

因為（x-3）2+（y-3）2=6，所以6（k2+1）≥（3-3k）2，即k2-6k+1≤0，解得

評注：本題解法很多，其中利用柯西不等式求解如同神來之筆，值得細(xì)細(xì)品味和充分借鑒.

例4 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k>0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點.求四邊形AEBF面積的最大值.

設(shè)點F（x，y）（x>0），所以四邊形AEBF的面積S=2（S△OBF+S△OAF）=x+2y.

評注：本題用到柯西不等式的變形公式：設(shè)a1、a2、…、an為實數(shù)，b1、b2、…、bn為正數(shù)，則當(dāng)且時取等號.此舉大大降低了問題的難度，達(dá)到了化難為易、化繁為簡、化陌生為熟悉的目的.

二、界定范圍問題

由柯西不等式，得：

評注：本題利用柯西不等式，結(jié)合cos2α+sin2α=1這一條件，輕車熟路的幾步代數(shù)推理，就使問題迎刃而解了.

解析：易知橢圓與x軸、y軸的正半軸的交點分別為M（a+1，0）、N（0，a-1）.

故|MN|可以小于2a.

評注：本題通過利用柯西不等式界定|MN|的取值范圍而解決問題，收到了化難為易、化繁為簡、一招制勝之奇效.

例7 求使直線xcosθ+ysinθ=2和橢圓x2+3y2=6有公共點的θ的取值范圍（0≤θ≤π）.

分析：此題為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，通常的解法是建立方程組，消元，利用判別式來解，這種方法運算量較大，下面我們通過構(gòu)造柯西不等式求解.

解析：由柯西不等式，得：

評注：由于直線方程是關(guān)于x，y的一次式，而橢圓的方程是關(guān)于x，y的二次式，這為構(gòu)造柯西不等式提供了可能.變形時要調(diào)整系數(shù)以滿足曲線方程中的形式.

三、破解相切問題

分析：利用柯西不等式解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，可以減小計算量，增強直觀性，是十分有效的好方法.

解析：設(shè)直線方程為Ax+By+C=0，由經(jīng)過點P（5，1）得C=-（5A+B）.

于是直線方程可表示為A（x-2）+B（y+3）=3A+4B.

由柯西不等式，得：

直線與橢圓相切時不等式取等號，即（3A+4B）2=9A2+4B2，解得B=0或B=-2A，所以要求的切線方程為x-5=0或x-2y-3=0.

評注：拆、湊、配是應(yīng)用柯西不等式解題的過程中對式子變形的主要手段，敬請同學(xué)們通過本例去體會方法，領(lǐng)悟技巧.

例9 已知直線y=（1-x）tanθ與雙曲線-x2+y2cos2θ=1相切求切線方程和切點坐標(biāo).

分析：本題直接應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求解比較繁雜，而應(yīng)用柯西不等式比較直觀，簡單明了.

解析：由柯西不等式，得：

所以切線方程為y=x-1或y=1-x，切點坐標(biāo)為（-1，±2）.

評注：直線與圓錐曲線的相切問題一直是解析幾何中的重點和難點，用判別式法求解運算量大，易出錯.而柯西不等式為我們解決這類問題提供了簡潔而有力的方法.