善用思維策略 發展創新意識

☉廣東省東莞市東莞中學 趙銀倉

著力提高學生的學習能力、實踐能力、創新能力是國家中長期教育改革與發展規劃的要求，也是高中數學課程改革的基本理念.因此在實施新課程標準的過程中，通過有效的數學教學，優化學生的思維方式，發展學生的創新意識，是我們數學教育的重要任務.面對目前學生普遍創新意識淡薄的這一現狀，如何在教學中有效地提高學生的創新意識一直是我們深思的課題.大數學家貝格曾經說過：“有效地進行問題解決的學習有助于增進數學思維能力，培養創造性精神.”這為我們發展學生的創新意識指出了一種非常有效的途徑.本文試圖探討在數學教學中，讓學生在問題解決過程中通過自主地運用思維策略，尋找問題轉化方向，突破問題解決瓶頸，同時優化思維品質，激發創新潛能，發展創新意識.

一、應用思維的簡單化策略，創新變形方式，促使問題熟悉化

思維的簡單化策略就是化陌生為熟悉，化高級為低級，應用這一策略有利于培養學生的思維的簡捷性.在使用這一原則的過程中，創造性地對問題中的數學式子進行變形，使得便于觀察到分解的方式，找到化為熟悉問題的途徑是解決問題的關鍵.在對數學式子的變形中蘊含著創新潛能，在創新變形方式、優化解決問題的途徑中開啟創新意識.

例1 設向量a=（3cosθ，2sinθ），b=（1，0），記φ=〈a，b〉，求函數）的最大值以及對應的θ的正切值.

分析：將問題分解.

（1）求φ的正切值.由φ=〈a，b〉知φ為向量a與x軸正向間的夾角，設a=（3cosθ，2sinθ）在坐標平面xOy上對應的點為A，由0<θ<，知φ為直線OA的傾斜角，且

例1涉及多個知識的交匯，如向量、三角、函數、不等式等，數學符號多，容易使學生感到迷惘.問題的解決就要從知識間的聯系和函數式的結構入手，巧妙的分解，使復雜問題變為多個基本問題的組合，最后變為基本不等式的應用這樣一個學生非常熟悉的問題.思維自然流暢、富于條理性，在分解與變形中開啟了學生的創新意識.

二、實施思維的等價變換策略，創新變換方式，實現化難為易

思維的等價變換策略就是促使疑難問題向常規問題轉化，實施這一策略有利于培養思維的廣闊性和靈活性.問題能否有效地轉化取決于在廣泛聯想的基礎上創新的變換方式，因此選擇恰當的等價變換方式并實施這種等價變換，能成功地使問題向容易化發展是源于在思維深處隱藏著變換方式的創新.

不少問題的解決，往往需要從其形式結構出發，與原有的認知結構聯想類比，找出之間的異同，利用它們結構的相似性，進行恒等變形，應用已有結論導出新的結論，這種對比與聯系中孕育著的創新意識.

三、使用思維的映射反演策略，創新遷移方式，達到由此及彼

思維的映射反演策略就是把原問題映射到其它領域中去解決，然后反演回原來的領域中得出問題的解答.使用這一策略要創造性地對進行問題的遷移，而這種創造性的遷移基于對問題形式結構的觀察和知識間的溝通與聯系，這有利于培養思維的發散性和靈活性，極大地激發學生的創新潛能，在由此及彼的遷移中發展了創新意識.

例3 集合S={1，2，…，18}的五元子集S′={a1，a2，a3，a4，a5}中，任何兩元素之差不為1，這樣的子集S′有多少個？

分析1：若分類考慮，明顯太煩.由于S′中的每個元素都在S中且任何兩個之差不為1，作子集T={a1，a2-1，a3-2，a4-3，a5-4}，則S′與T一一對應，而T是{1，2，…，14}的五元子集，故共有C514個.

分析2：原問題可轉化為18名學生中有5名女生，要排成一排，其中任何兩個女生不得相鄰，問：共有多少種不同的排法？

在解題過程中，采用輔助手段如對偶、換元、排序、賦值、分割、投影、放縮等，尋求與問題相關的對應元素、情境和問題，進行遷移和移植，使難題巧解，也調動了學生內心深處的創新意識，尋找到了知識間的普遍聯系規律.

四、采用思維的猜想驗證策略，創新推理方式，從特殊中窺見一般

采用思維的猜想驗證策略能夠克服長期演繹推理的訓練而造成的思維模式的固定化及研究問題方式的單一化，通過對特殊現象的研究來發現帶有普遍性的規律，這也符合人們認識事物的一般規律.學生在研究問題解決的過程中創造性地進行推理，能喚發創新意識，培養思維的靈活性和全面性.

因為a、b∈R+，a+b=2，所以，可得anbn≤1，僅當a=b=1時取等號，所以yn≥1.因此當a=b=1時，yn都取得最小值1.猜想驗證是探求問題結論的有效方法，在這個問題解決的過程中，學生從特殊情形入手，發現了可以推廣的一般性結論，探索到問題成立的根本原因.探索是創造的原動力，而歸納猜想是發現數學問題的規律的一個重要探索途徑.在猜想驗證中，學生的科學素養得到了訓練，感受到了創新的喜悅，領略了創新帶來的成功，增強了創新的信心，強化了創新意識.

五、運用思維的辯證轉化策略，創新聯想方式，從矛盾中找到本源

運用辯證思維轉化策略就是在直接解決問題有困難時或太麻煩時，從它的對立面入手來尋找和發現矛盾，從矛盾的對立統一中看清問題的本質.這種探求條件間聯系方法上的創新，會讓學生的思維更具深刻性和批判性，在問題的思辨中發展創新意識.

順向推有困難時就逆推，直接證有困難時就間接證.學生受長期單一的思維方式的影響，使得將證明理解為只是對定義、定理的驗證.而此問題為不是等差數列的證明，用定義證明時說理陷入困境，創新思維方式，用反證法則“柳暗花明”.

在數學教學中，經常看到學生遇到創新設計的或有點難度的問題，就找不到解決問題的切入點.在高考中，平時感覺學習很好的學生面對試卷中形式新穎的問題或綜合性強的問題也只是望題興嘆.分析其根本原因就是平時學習中以模仿練習為主，沒有用分析問題的基本方法和思維策略自主地尋找建構解決的方案，沒有形成創新意識，不具有探索精神.因此在數學教學中，要引導學生在問題解決的過程中，善于用思維策略去分析和解決問題，通過不斷地優化思維的方式，發掘創新潛能，發展創新意識，也必然能提高學生分析問題和解決問題的能力，面對疑難問題將不再一籌莫展了.

1.張順燕.數學思想、方法和應用［M］.北京：北京大學出版社，2001.

2.趙銀倉.學生解決一類問題的認知障礙分析及教學啟示［J］.中小學數學，2011（10）.