一道2011高考題的解法探 究與推 廣

☉江蘇省常熟中學 朱峰

題目 （2011年重慶高考理科卷第7題）設a>0，b>0，若a+b=2，則的最小值為（ ）.

這道試題從它的問題背景和難易程度來看，顯然相當平凡，不見得有多大的“新奇”之處，但剖析其內涵，挖掘其內在的功能，可引發眾多的思考，筆者結合自己的教學實踐，談談試題給我們的思考，供大家參考.

“問題是數學的心臟”，學習數學的過程與解題緊密聯系的，而數學能力的提高在于解題的質量而不是解題的數量.所以要重在研究解題的方向和策略.要善于從題目的條件和求解（求證）的過程中提取有用的信息，作用于記憶系統中的數學認知結構，提取相關的知識，推動題目信息的延伸，歸結到某個確定的數學關系，從而形成一個解題的行動序列，這就是解題方向.題目信息與不同數學知識的結合，可能會形成多個解題方向.

一、代換

二、構造

點評：巧妙地構造定必分點坐標公式，引入參數λ，再利用基本不等式求解.

三、轉化湊項

點評：將變量x轉化成y，進行湊項，使積為定值，利用基本不等式求解.

四、三角換元

點評：根據已知條件，通過三角恒等變形，創造基本不等式成立的條件，從而進行解題.

五、引入參數（加0法）

點評：引入參數m，巧妙地構造基本不等式進行求解.

六、構造一元二次方程，利用根的判別式

點評：巧妙地構造關于b的一元二次方程，由根的判別式求解.

七、利用平均數代換，構造方程

點評：利用平均數代換，轉化成關于t的方程，利用根的判別式進行求解.

反思是對所解的數學問題進行發散性擴展或是收斂性的概括.發散性擴展是指改變習題條件、擴大外延的一題多變的思考，培養發散性思維；而收斂性的概括則是對所解的題目從結構上和思路上進行抽象、概括和歸納，以便形成更高層次上的題型模式和數學思維模式.因此，要求教師對習題、試題進行“深加工”，重視對其的挖掘、引申和改編，進行創造性的設計.

應用某些習題的結論和拓廣所得的新知識解決問題，不僅能使知識深化，而且也有可能使解題方法巧妙、簡捷，從而使學生體會創造的美感，激發學生的創造熱情，培養自覺、自主的創造品質.

1.求二元一次式的最值.

2.求二元二次式的最值.

例2 已知x、y滿足x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最值.

4.求二元分式函數的最值.

在數學教學中，若老師有目的、有意識地引導學生研究一些典型習題、考題，揭示其豐富的內涵，則不僅有利于學生掌握基礎知識，而且對于培養應變能力、開拓思路、活躍思維都是有益的.