一道“北約”自主招生題的鏈式思考

☉江蘇省東臺市安豐中學 崔志榮

2012年“北約”自主招生的數學試題和去年相比，在題型上做了一些調整，增加了選擇題，減少了主觀題的數量，從習慣的5道大題變成了6道選擇題+3道解答題的形式，從難度上看略高于去年，其特點是運算量不大，有較高的思維要求.其中最后一道解答題，筆者頗感興趣，對此題做了一些鏈式思考，得到一些想法，下面與讀者交流.

一、從二項式定理入手

當n為偶數時，a2-2b2=1；當n為奇數時，a2-2b2=-1.至此已完

成原題的證明.

通過上面的證明過程可知：

當n為偶數時，

二、與數列聯姻

1.數列的引入.

此法與上述解法是很相近的.

2.與數列的本質聯系.

雖然想到了數列，但就此罷筆實無意義，根本體現不出原題與數列有多大的聯系.既然想到了數列，是不是可以考慮利用遞推關系呢？an+1、bn+1與an、bn之間有什么聯系呢？

結合上文的解題目標，我們可以將原試題轉化為一個數列問題：

在數列{an}、{bn}中，已知a1=b1=1，且滿足遞推關系求證：當n為偶數時；當n為奇數時

證明：a1=b1=1，由遞推關系，得：

3.反思通項.

上面解法中，尋找到了原題的一個等價的數列命題，從上面的分析中可以看出這道數列題中現在的問題是，由原試題轉化為這道數列題不難，但只把這道數列題擺在我們面前，我們怎樣才能得到數列通項公式呢？從這道數列題出發通過轉化，想返回原試題尋找通項公式，好像不太可能.這里給出一種處理思路.

故an+2=2an+1+an.而且知道a1=1，a2=3.

于是得到下列問題：在數列{an}中，a1=1，a2=3，且an+2=2an+1+an，求an.通過特征方程可求出{an}的通項公式，再代入遞推關系式an+1=an+2bn中就可以求出bn了（留給讀者完成）.

三、數學歸納法

這道題是一道關于正整數的命題，利用數學歸納法證明，那是很自然的思路.但機械的套用數學歸納法卻不能奏效，從二項式定理中可以看出可表示為a+的形式；又知道an+1、bn+1與an、bn的遞推關系實際上是n到n+1的聯系，到這里用數學歸納法就容易多了.

根據（1）（2）可知原命題成立.

四、一點探究引申

得到以上解法之后，能否探究該問題的一般性？筆者得到以下兩個探究.