高中數學示錯教學的 實 踐 與 研 究

☉浙江省桐鄉市高級中學 豐關堂

在數學教學中，我們經常發現許多學生在學習中并不是不勤奮也并不是不夠聰明，而是因為常常忽略了一些細節問題導致學習效果不佳.示錯教學能夠將一些學生理解得不夠透徹和沒有注意到的地方特別強調出來，幫助學生提高對數學知識的理解和運用.本文主要闡述示錯教學在高中數學教學中的作用和重要性.

一、示錯教學的界定、目的、意義及理念支撐

“示錯”即是“展示錯誤”.但是示錯教學并不只是簡單地將錯解展示在學生面前.而是教師通過對學生所犯錯誤的觀察，選擇典型的錯例，但并不直接指出學生的錯誤，而是讓學生表述在解題時的思路和想法，根據表述來找出學生犯錯誤的根源，如對概念理解得不透徹、存在某種思維定勢等，進而幫助學生解決問題，避免以后再犯.老師在示錯教學中也不僅僅是幫助學生尋找錯誤、改正錯誤，還要教會學生如何發現錯誤、怎樣尋找錯誤的根源并學會自己對自己進行示錯教學.

通過這樣的示錯教學，學生收獲的不僅僅是改正一道題或是一類題，而是培養正確的解題方式、思維習慣和反思的能力.這種良好的習慣不僅對學習數學有益，對學習其他學科乃至為人處事都大有裨益.

數學發展的歷史就是數學家們通過不斷犯錯，又不斷地發現并改正錯誤，在眾多岔路口中最終尋找到通往真理道路的過程.因此，我們要幫助學生正確認識數學學習中所犯的錯誤，不能不當回事，也不能對數學喪失信心，讓這些錯誤不僅不會成為學生們前進的絆腳石，反而成為學生前進的階梯.

二、示錯教學的操作方法

1.全面理解定義、定理和公式.

在數學學習中，定義、定理和公式是解決一切問題的基石.如果連數學的基本概念都沒有理解透徹，對適用范圍也沒有理清，對概念與概念之間的相互聯系都不能很好把握，在解決一兩個問題時也許沒有體現出來，但隨著解決的問題數量以及難度的提高，這些缺陷就會暴露出來.不少學生認為要想學好數學、在考試中拿高分就必須努力鉆研難題.實際上，很多學生在解決一個所謂的難題時，“卡”住的地方往往就是他對基本概念掌握不牢的地方.

2.找出題目中的陷阱.

有一些高中數學題題干非常長，看起來很復雜，但是實際上做起來比較簡單，而有些數學題題干也許只有一句話，看似簡單，其實在這一句話中還隱藏了一些表面上沒有看到的條件，學生們稍不注意就容易掉入這樣的“陷阱”.

這道題看起來比較簡單，通過前面的等式變形可以得到y2=-4x2-16x-12，從而可以得到，由這個式子我們可以得到，當時，x2+y2有最大值的取值范圍是］.可是實際上是這樣嗎？這樣的解法其實默認了x的取值范圍為（-∞，+∞），但是我們還忽略了題干中給的另一個隱藏的條件，那就是通過前面的等式，我們可以獲得x的取值范圍.x的取值范圍其實并不是（-∞，+∞），而是通過，可得x的取值范圍為［-3，-1］.在這個基礎上求到的x2+y2的取值范圍才是這道題的正解.

例2中的x的取值范圍在題干當中，還有另外一種情況如x2≥0、三角函數-1≤sinx≤1這類并不需要在題干中特別提出就已經默認的取值范圍情況.因此，在做高中數學題時，要時時刻刻記著任何結論都是在一定的范圍內成立的，要隨時注意取值范圍的問題.要想避開題目中的陷阱，獲得真正的答案，就要認真分析題目提供的每個條件，還要注意到題目中所涉及知識點的特殊性，如前所提到的三角函數的取值范圍等，常常問自己還有什么方面沒有考慮到.

3.分類討論要嚴密.

許多學生對數學的印象還停留在只有唯一正解的印象上，如果是選擇題，有可能在選項的提示下還會進一步思考，而如果是解答題則常會因為思維的不嚴密性造成分類討論不全，忘記討論特殊情況等現象.

例3 設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數列的公比q.整理可得q3（2q6-q3-1）=0.由q≠0，可得方程2q6-q3-1=0，即

這個解法雖然得到了正確答案，但解法中卻有錯誤，問題出在哪兒呢？在等比數列中，雖然a1≠0，但是公比q卻是可以等于1的.因此在設未知數列出等比數列之前應先討論q=1的情況，再討論q≠1時，將所設等式進行變形，而錯解中所設的公式已直接除去q=1的情況.

在與數列相關的題中，常需要考慮許多特殊情況，尤其是公比q=1的情況.老師在對這一類題進行示錯教學時，不僅要指出學生漏考慮了哪種情況，還可以幫學生總結出一些常見的需要考慮特殊情況的題型.當然，最重要的仍然是要讓學生有考慮特殊情況和分類討論的意識.對于分類討論的題目，學生失誤多是由于沒有一個宏觀考慮問題的意識，要在對這類題目進行示錯教學時培養學生從全局把握問題.

4.擺脫思維定勢.

有許多學生看到數學題并沒有對整道題有一個全局的把握，頭腦中也沒有一個完整的思維過程，而是拿起筆就寫，這樣很容易被題目牽著鼻子走，尤其是遇到一些和以前遇到的題目類型相類似的題目時，更容易陷入一種思維定勢，造成解題的錯誤.

例4 過點P（2，3）且與曲線y=x3-2x+3相切的直線方程.

要求曲線的斜率很簡單，即把x=2代入切線的斜率方程，即k=y′|x=2=（3x2-2）|x=2=10，所以所求切線方程為y-3=10（x-2），即10x-y-17=0.

但是這樣的解法卻是錯誤的，為什么呢？因為y=f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率是f′（x0）成立的條件是點P要在曲線上.許多學生在做題的時候看到題目表明是過點P與曲線相切的方程就按照思維定勢認為這個點就是切點.實際上在例5中，點P（2，3）雖然在切線上卻不在曲線上，點P并不是切點.這是解這類題型時的典型錯誤，隨著老師的強調，現在大部分學生已不會再犯這樣的錯誤.但是思維定勢并不僅存在這一類題中，因此學生在做題時切忌按照以往的印象來做題，而是應該認真審題，尤其是遇到與以前做過的題類似的題時更應該謹慎.避免思維定勢一個很好的辦法就是當自己認為理所應當是這樣時再問自己一遍，有沒有不是這樣的情況.就像這道題，一看題很多學生都想當然認為P是切點，應該問自己，P真的是切點嗎？P可不可以不是切點？

三、示錯教學的理念提升

前面對示錯教學的介紹以及后面列舉的幾個典型問題似乎都在說明示錯教學主要是在向學生展示一道題的錯誤解法，通過指出錯解的原因和需要注意的問題以達到教學的目的.但實際上，對示錯教學的認知和應用已不應該僅局限在習題的講解上，而應將其的深度和廣度擴大.在上新課時，以前老師們多是干巴巴地講解新概念，隨后就是一系列的例題講解.其實，高中數學的學習并不僅僅是通過簡單的講解概念和例題來進行的，在講解概念時，我們也同樣可以應用到示錯教學，通過列舉幾種理解上的錯誤來幫助理解數學的文字概念.示錯教學也不一定要通過老師來進行，畢竟老師不可能將每道錯題都一一在課上講解出來.

在高中數學教學中，示錯教學是一個非常有效的教學手段.通過示錯教學，學生能更好地發現自己對定義、概念等理解的偏差，發現自己在解題思路，答題策略上的一些疏忽.學生只有真正認識到自己錯誤的所在，才能及時改正，夯實數學基礎，提高數學的應用能力.因此，老師應當根據學生的實際情況以及所犯錯誤的類型進行適當的示錯教學.