數學學科中如何靈活運用各種數學思想方法解題

☉江蘇省贛榆縣實驗中學 高 穩

數學學科中如何靈活運用各種數學思想方法解題

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數學作為對客觀事物的一種認識，與其他科學認識一樣，其認識的發生和發展過程遵循實踐——認識——再實踐的認識路線.但是，數學對象（量）的特殊性和抽象性，又產生與其他科學不同的、特有的認識方法和理論形式.由此產生數學認識論的特有問題.數學知識由經驗知識形態上升為理論形態后，數學家又把它應用于實踐，解決實踐中的問題，在應用中檢驗理論自身的真理性，并且加以完善和發展.

在解決數學問題時，要能夠靈活運用各種數學思想方法，并且在學習和探究過程中，要善于歸納總結，并且還要有所創新.著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉化為已經解過的題.”數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程.

一、轉化思想

我們在解題中的困難，一般來說，都是或由于這個問題比較復雜，或由于這個問題不太熟悉.當你遇到較復雜或者你從未見過的一些題目時，一定別害怕，仔細分析，往往能把問題轉化成另一種你所熟知的問題，變換其敘述的方式，或改變思考的角度，或把它轉化成另一種你所熟悉的問題，從而使問題獲得解決，這種思考方法，我們稱之為轉化思想.

分析：先解方程組求x、y（用含m的代數式表示），再根據－1＜x－y≤2建立關于m的不等式，求其解集.

點撥：解不等式（組）的依據是不等式的性質1、2，另外，要注意不等式與不等式組的轉化.

二、數形結合思想

就是通過“數”與“形”之間的對應、轉化來解決數學問題的思想.所謂“數”，就是指數或式，所謂“形”，就是指圖形或圖像.“數”與“形”之間互相依存，對應：“數”是“形”的抽象和概括，“形”是“數”的幾何表現.同時，在一定的條件下，它們又可以互相轉化：“數”借助于圖形的性質，可以使許多抽象的概念和數量關系直接化、形象化、簡單化，而“形”的問題經過數量化處理，并借助于計算，可以使較深的問題歸結為較容易處理的數量關系來研究.

例2 實數a、b在數軸上對應點的位置如圖1所示，則一定有（ ）.

圖1

答案：D.

點撥：正確地從數軸上獲取實數a、b的大小范圍是解題的關鍵.

三、類比思想

分析：可先求出不等式組的解集，再由x=1是不等式的解，利用不等式組的解的定義，列出關于a的不等式組求解.還可以根據不等式組解的意義，類比方程解的意義，直接將x=1代入不等式組中，直接求解關于a的不等式組.

因為x=1是原不等式組的解，即不等式組有解，所以－6a－3＜x≤－2a+5.

點撥：通過類比不僅可以發現新舊知識的不同點和相同點，還有助于利用已有知識去認識并加深理解新知識.

四、數學建模思想

近幾年來中考中常出現與“日常生活”有關的決策及最佳答案選擇性試題，解決此類問題的關鍵是在理解題意的基礎上，建立與其相應的“數學模型”——不等式（組）的相關知識，確定問題的答案.

例4 某航空公司規定：旅客可隨身帶一定重量的行李，如果超過規定的重量，那么需要購買行李票，行李票費用y（元）是行李重量x（kg）的一次函數，其圖像如圖2所示.

圖2

（1）求y與x之間的函數關系式.

（2）求旅客最多可免費攜帶行李的重量.

（3）某旅游團的旅客所買的行李票的費用在4至15元之間，求旅客所帶行李重量的范圍.

分析：先觀察函數圖像經過哪些特殊的點，然后設出y與x之間的函數關系式y=kx+b，聯立方程組求出k、b的值.

解：（1）觀察函數圖像可知，直線經過（40，6）和（60，10）兩點.

解得k=0.2，b=－2，所以y與x之間的函數關系式為y=0.2x－2.

（2）由 y=0，得 x=10.

所以旅客最多可免費攜帶行李10kg.

所以旅客所帶行李的重量范圍是30～85kg.

點撥：“三個一次”之間有著密切的聯系，由一次函數圖像上的點列方程組可得到一次函數關系式，通過構建不等式組又可以求出所帶行李重量的范圍.總之，通過建立函數、方程、不等式（組）等數學模型解決實際問題是非常重要的，在今后的學習中一定要掌握其要領.