分式方程無解與增根之間的奧秘

☉河南省南陽市第二十九中學(xué) 郭 沖

分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個(gè)概念.同學(xué)們在學(xué)習(xí)分式方程后，常常會對這兩個(gè)概念混淆不清，認(rèn)為分式方程無解和分式方程有增根是同一回事，事實(shí)上并非如此.

分式方程有增根，指的是解分式方程時(shí)，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一個(gè)可能使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值.因此增根具有兩個(gè)特征：其一，它是分式方程化為整式方程后的整式方程的解；其二，它使最簡公分母等于0.而分式方程無解則是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等.它包含兩種情形：其一，原方程化去分母后的整式方程無解；其二，原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而使原方程無解.現(xiàn)舉例說明如下.

A.解為 x=2B.解為 x=4C.解為 x=3D.無解

解：方程兩邊都乘以（x-2），得 1-x+2（x-2）=-1②.

解這個(gè)方程，得x=2.

經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，原方程無意義，所以x=2是原方程的增根.

所以原方程無解，這個(gè)題目應(yīng)選D.

點(diǎn)評：顯然，方程①中未知數(shù)x的取值范圍是x≠2.而在去分母化為方程②后，此時(shí)未知數(shù)x的取值范圍擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù).所以當(dāng)求得的x值恰好使最簡公分母為零時(shí)，x的值就是增根.本題中方程②的解是x＝2，恰好使公分母為零，所以x＝2是原方程的增根，而原方程無解.

解：去分母后化為 x-1＝3-x+2（2+x）.

整理得 0x＝8.

因?yàn)榇朔匠虩o解，所以原分式方程無解.

點(diǎn)評：此方程化為整式方程后，本身就無解，當(dāng)然原分式方程肯定就無解了.由此可見，分式方程無解不一定就是產(chǎn)生增根.

方程兩邊都乘以x-2，得x-3=-m.

解這個(gè)方程，得x=3-m.

因?yàn)樵匠虩o解，所以這個(gè)解應(yīng)是原方程的增根.即x=2，

所以2=3-m，解得m=1.

故當(dāng)m=1時(shí)，原方程無解.

點(diǎn)評：因?yàn)橥瑢W(xué)們目前所學(xué)的是能化為一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一個(gè)根，所以如果這個(gè)根是原方程的增根，那么原方程無解.但是同學(xué)們并不能因此認(rèn)為有增根的分式方程一定無解，隨著以后所學(xué)知識的加深，能將分式方程化為一元二次方程，那時(shí)有些分式方程雖有增根但也有解，同學(xué)們便會明白其中的道理，此處不再舉例.

解：方程兩邊都乘以 x（x-1），得（x-a）x-3（x-1）＝x（x-1）.

整理得（a+2）x＝3. ②

因原方程無解，則有兩種情形：

（1）當(dāng) a+2＝0（即 a＝-2）時(shí)，方程②為 0x＝3，此方程無解，所以原方程無解.

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解.原方程若有增根，增根為x＝0或1，把x＝0或1代入方程②中，求出 a＝1.

綜上所述，a＝1或-2，原分式方程無解.

若將此題“無解”改為“會產(chǎn)生增根”，即：

若原分式方程有增根，則x＝0或1是方程②的根.

把x＝0或1代入方程②中，解得，a＝1.

點(diǎn)評：做此類題應(yīng)首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根，最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值.

總之，弄清分式方程的增根與無解的區(qū)別和聯(lián)系，能幫助我們提高解分式方程的正確性，對判斷方程解的情況有一定的指導(dǎo)意義，同時(shí)可有效地解決分式方程增根的問題.