求四邊形未知頂點坐標例析

☉江蘇省鹽城市高級職業學校初中部 汪榮躍

平行四邊形是初中階段非常重要的幾何圖形，探求平行四邊形未知頂點坐標又是近幾年中考的熱點話題，備受命題者的青睞.但許多學生由于不得其法而一籌莫展.現以近年來的中考試題為例，介紹一些求平行四邊形未知頂點坐標的方法，供大家參考.

一、尋找相等關系，建立方程模型

例1 如圖1，已知二次函數圖像的頂點坐標為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數的圖像交于A、B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在y軸上.

（1）求m的值及這個二次函數的關系式.

（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖像交于點E，設線段PE的長為h，點P的橫坐標為x，求h與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（3）D為直線AB與這個二次函數圖像對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1

解析：（1）由點 A（3，4）在直線 y=x+m上得4=3+m，則m=1.由于二次函數圖像的頂點為C（1，0），因此其函數關系式可設為y=a（x-1）2，由點 A（3，4）在拋物線 y=a（x-1）2上得 4=a（3-1）2，則 a=1，所以二次函數關系式為 y=（x-1）2，即 y=x2-2x+1.

（2）設 P、E 兩點的縱坐標分別為 yP和 yE，則 yP=x+1，yE=x2-2x+1，所以 PE=h=yP-yE=（x+1）-（x2-2x+1）=-x2+3x.由于點 P 是線段 AB 上的動點，因此 0＜x＜3.

（3）因為 PE⊥x軸，DC⊥x軸，所以 PE∥DC.因而要使四邊形DCEP是平行四邊形，只需PE=DC.由xD=1得yD=xD+1=2，則DC=yD=2.根據 PE=DC，PE=-x2+3x，DC=2.可得-x2+3x=2，解得 x1=1，x2=2.當x=1時，PE與DC重合，不符合要求，故舍去；當x=2時，y=x+1=3，所以滿足要求的點 P 坐標為（2，3）.

點評：在整個運動過程中，四邊形DCEP始終保持著對邊PE與DC的平行關系，但PE的長度卻隨著P點橫坐標x的變化而變化.要使四邊形DCEP是平行四邊形，P點必須運動到PE=PC的特殊位置，從而為建立關于P點橫坐標x的方程提供了相等關系.

二、借助平移變換，溝通坐標關系

例 2 如圖 2，點 A（m，m+1）、B（m+3，m-1）都在反比例函數的圖像上.

（1）求 m、k的值.

（2）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求頂點M、N的坐標及直線MN的函數表達式.

圖2 圖3 圖4

解析：（1）由點 A（m，m+1）、B（m+3，m-1）在反比例函數 y=的圖像上可得，k=m（m+1）且 k=（m+3）（m-1），從而有 m（m+1）=（m+3）（m-1），解得 m＝3.所以 A、B 兩點的坐標分別為（3，4）、（6，2），且 k＝3×4=12.

（2）由于以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，因此線段MN可看做由線段AB平移所得.由于點A平移后的位置可能在x軸上，也可能在y軸上，故存在兩種情況：

①當點A平移后的位置在y軸上時（如圖3），為了能讓點A平移到y軸上，點B平移到x軸上，可以先將線段AB向左平移3個單位，到達線段A1B1位置，再向下平移2個單位，到達線段 NM 位置，此時 N 點坐標為（3-3，4-2），即 N（0，2）；M 點坐標為（6-3，2-2），即 M（3，0）.設直線 MN 的函數表達式為 y=k1x+b1，由 M（3，0）、N（0，2）在直線 y=k1x+b1上，得，解得所以直線MN的函數表達式為

②當點A平移后的位置在x軸上時（如圖4），為了能讓點B平移到y軸上，點A平移到x軸上，可以先將線段AB向左平移6個單位，到達線段A2B2位置，再向下平移4個單位，到達線段 MN 位置，此時 M 點坐標為（3-6，4-4），即 M（-3，0）；N 點坐標為（6-6，2-4），即 N（0，-2）.設直線 MN 的函數表達式為 y=k2x+b2，由 M（-3，0）、N（0，-2）在直線 y=k2x+b2上，得解得

點評：由于平行四邊形對邊平行且相等，因此可借助平移變換，溝通平移前后對應點坐標之間的關系.

三、構造全等圖形，探求線段關系

圖5

例3 如圖5，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2.

（1）求A、B兩點的坐標及直線AC的函數表達式.

（2）點G是拋物線上的動點，在x軸

上是否存在點F，使A、C、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由.

解析：（1）把 y=0 代入 y=x2-2x-3，得 x2-2x-3=0，解得 x1=-1，x2=3，所以 A、B 兩點坐標分別為（-1，0）、（3，0）.把 x=2 代入 y=x2-2x-3，得 y=-3，所以 C 點坐標為（2，-3）.由 A、C 兩點坐標易求得直線AC的函數表達式為y=-x-1.

（2）在以A、C、F、G為頂點的平行四邊形中，已經確定的線段AC可能是平行四邊形的對角線；也可能是平行四邊形的邊，此時AC對邊GF可能在直線AC上方，也可能在直線AC下方.所以本題可分三種情形討論.

①若AC是平行四邊形的對角線（如圖5）.此時AF∥CG，則yG=yC=-3.把 y=-3 代入 y=x2-2x-3，得 x2-2x-3=-3，解得 x1=0，x2=2，所以點 G 的坐標為（0，-3）.又因為 AG∥FC，所以線段 CF 可看做線段GA向右平移2個單位所得.從而由點A的坐標（-1，0）可得點 F 的坐標為（-1+2，0），即 F（1，0）.

②若AC是平行四邊形的邊，且GF在直線AC下方（如圖6）.此時點 G 和①中的 G 重合，即 G（0，-3），且有 AC∥FG.運用①中的方法，可得 F（-3，0）.

③若AC是平行四邊形的邊，且GF在直線AC上方（如圖7、圖8）.作CM⊥x軸，GN⊥x軸，垂足分別為點M、點N.由?ACFG得 GF=CA，GF∥CA，所以∠GFA=∠CAF.又因為∠AMC=∠FNG=90°，所以△ACM≌△FGN.從而有 GN=CM=3，NF=AM=3.把y=3代入y=x2-2x-3，得x2-2x-3=3，解得由于 NF=3，點F可看做點 N向右平移3個單位所得，因而點F的坐標為或所以滿足條件的點 F 的坐標為（1，0）或（-3，0）或

圖6 圖7 圖8

點評：本題情形①、②中的平行四邊形都有邊與坐標軸垂直，借助平移變換可求出未知頂點坐標.情形③中的平行四邊形的邊都不與坐標軸垂直，此時可以構造兩個全等的直角三角形（其斜邊為平行四邊形的一組對邊，直角邊與坐標軸垂直），進而溝通相關線段的關系.