梯形問(wèn)題中如何添加輔助線

☉湖北省襄陽(yáng)市第二十八中學(xué) 米伶俐

用簡(jiǎn)單已知的圖形去探索較復(fù)雜未知的圖形，是我們學(xué)習(xí)平面幾何的重要和基本的方法.大多數(shù)梯形問(wèn)題都需要添加輔助線.總的來(lái)說(shuō)，梯形問(wèn)題就是通過(guò)添加輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，然后把問(wèn)題放在平行四邊形和三角形中來(lái)解決.下面簡(jiǎn)單介紹一下梯形常見(jiàn)輔助線添加的方法.

一、平移梯形的腰

1.平移一腰，把兩腰和上底、下底的差放在一個(gè)三角形中.

例1 如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，∠C=70°，∠B=40°.

則AB的長(zhǎng)為.

分析：過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC，交BC于點(diǎn)E，得平行四邊形AECD和△ABE，這樣，上下底之差和同一底上的兩個(gè)角就集中在一個(gè)三角形內(nèi)，從而求解.

解：過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC，交BC于點(diǎn)E，得平行四邊形AECD和△ABE.

因?yàn)锳E∥DC，所以∠AEB=∠C=70°.又因?yàn)椤螧=40°，所以∠BAE=70°.所以△BAE為等腰三角形.

所以AB=BE=BC-CE=BC-AD=4-1=3.

2.同時(shí)平移兩腰，構(gòu)建新的特殊三角形.

例2 如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，若∠B+∠C=90°，AD=7，BC=15，求EF的長(zhǎng).

解析：已知條件中有同一底上的兩個(gè)角∠B+∠C=90°，充分利用這一條件，把它放在一個(gè)三角形中，構(gòu)成直角三角形，而EF恰為直角三角形的中線，可以利用直角三角形斜邊上中線等于斜邊長(zhǎng)度的一半，求出EF的長(zhǎng).

解：過(guò)E作EG∥AB，EH∥DC，分別交BC于G、H，得平行四邊形ABGE和平行四邊形DCHE.

因?yàn)椤螧+∠C=90°，所以∠EGH+∠EHG=90°.

所以△EGH為直角三角形.因?yàn)镋、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，所以GF=FH，即F為Rt△EGH斜邊上的中點(diǎn).因?yàn)镚H=BC-AD=15-7=8，所以

小結(jié)：只要已知梯形中兩腰、兩底的長(zhǎng)，同一底上的兩個(gè)角大小等條件，加上平移一腰或兩腰后構(gòu)成的三角形是等腰、等邊或者直角三角形這些條件，就可以把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.

二、平移對(duì)角線

過(guò)梯形的上底的一個(gè)端點(diǎn)作一對(duì)角線的平行線，與另一底的延長(zhǎng)線相交，得平行四邊形和三角形，再利用平行四邊形和三角形的有關(guān)性質(zhì)解題.

例3 如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，AC=6，BD=8，求梯形ABCD的高.

圖3

解：設(shè)梯形ABCD的高為h，過(guò)D點(diǎn)作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于E，得平行四邊形ADEC，所以DE=AC=6.因?yàn)锳C⊥BD，DE∥AC，所以∠BDE=90°.在Rt△BDE中，BD=8，DE=6，所以BE=10.因?yàn)榧?×6=10h，所以h=4.8，即梯形ABCD的高為4.8.

小結(jié)：在梯形問(wèn)題中，只要有兩條對(duì)角線的大小和位置關(guān)系的條件，就用平移一條對(duì)角線的辦法，把兩條對(duì)角線、上下底之和放在一個(gè)三角形中，就會(huì)出現(xiàn)等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊三角形，就可以利用特殊三角形的性質(zhì)來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題.

三、過(guò)梯形一腰中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形

圖4

找出一腰中點(diǎn)，連接頂點(diǎn)和這個(gè)中點(diǎn)并延長(zhǎng)，與底邊延長(zhǎng)線相交，構(gòu)造全等三角形.

例4 如圖4，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點(diǎn)，求證：CE⊥BE.

證明：延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.

因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以AE=DE.

又因?yàn)椤螧AE=∠CDE=∠MAE=90°，∠MEA=∠CED，

所以△MAE≌△CDE.

所以ME=CE，AM=DC.

所以BM=AB+AM=2+1=3.又因?yàn)锽C=3，

所以△BCM為等腰三角形.又因?yàn)镸E=CE，所以BE⊥CM，即CE⊥BE.

小結(jié)：在梯形中，只要有腰上的中點(diǎn)，采用過(guò)中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形，從而把上下底之和與另一條腰集中在一個(gè)三角形中，而這個(gè)三角形又是一個(gè)特殊三角形，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了.

四、作梯形的高

過(guò)梯形較短的底的兩端點(diǎn)向另一底所在直線作垂線，把梯形分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形.

例5 在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，若AD=5，CD=2，AB=8，求梯形ABCD的面積.

解：通過(guò)作高DE、CF，把這個(gè)梯形分割成兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)矩形，從而求出AE=3，利用勾股定理可以得出DE=4，也就是梯形的高.這道題就迎刃而解了.本題解法省略.

另外，我們還可以采用延長(zhǎng)梯形的兩腰，構(gòu)建兩個(gè)三角形的方法解決一些實(shí)際問(wèn)題.總之，通過(guò)添加梯形的輔助線，我們就能化繁為簡(jiǎn)，輕松解決很多梯形問(wèn)題.