如何在解題中運用分類討論思想

☉江蘇省興化市唐劉學校 王長平

如何在解題中運用分類討論思想

☉江蘇省興化市唐劉學校 王長平

數學思想是數學知識、數學技能、數學方法的本質體現，是形成數學能力，數學意識的橋梁.因而在《課標》中，數學思想被視為數學基礎的重要組成部分，而分類討論思想是十分重要的數學思想.

分類討論思想邏輯性強，它不僅用于數學解題，而且在其他領域也有廣泛的應用.通過數學中的分類解題，可以增強分類的意識，拓寬解題的空間，培養全面解決問題的能力.

近年來，在中考或數學競賽中，經常出現多解問題，不少學生往往不注意這一點，很容易導致漏解，使答案不完整.為了保證求得的答案正確、合理，應正確應用分類思想指導解題.

一、根據定義確定多解

例1 解方程|2x+5|=3.

解：根據絕對值定義，將它分解為兩個方程來解：

①當2x≥－5時，2x+5=3，所以x=－1；

②當2x＜－5時，2x+5=－3，所以x=－4.

所以，原方程的解是：x1=－1，x2=－4.

二、根據圖形的特征確定多解

例2 △ABC中，已知AB=AC，且過△ABC某一頂點的直線可將△ABC分成兩個等腰三角形，試求△ABC各內角的度數.

分析：由對稱性知，可先分直線過A，B兩點的兩種情況，在這兩種情況下又需按腰分類，也有兩種情況，故有四解.

解：（1）如圖1，過A作直線AD交BC于D，有AD=DB=DC，此時△ABC的各角為45°，45°，90°.

圖1

圖2

（2）如圖2，過A作直線AE交BC于E，有BE=AB，CE=AE，設∠C=∠B=∠CAE=x°，則∠BAE=∠BEA=2x°，由x+2x+x+x=180，得x=36，此時△ABC的各個內角為36°，36°，108°.

（3）如圖3，過B點的直線BF交AC于F，BF=BC=FA，設∠A=∠ABF=x°，則∠C=∠CFB=2x°，∠CBF=x°，由x+2x+2x=180，得x=36，此時△ABC各內角為36°，72°，72°.

圖3

圖4

三、根據對稱性確定多解

例3 以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓上的點，且OC2=AC·BC，求∠CAB.

解：（1）當點C與A同在四分之一的圓上時，如圖5，過C作CD⊥AB于D.因為AB為半圓的直徑，所以∠ACB=90°，所以AC·BC=AB·CD=2OC·CD.而OC2=AC·BC，所以2OC·CD=OC2，所以CD=OC，所以∠COD=30°.又因為△BOC是等腰三角形，所以

圖5

圖6

四、根據位置關系確定多解

例4 ⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，公共弦AB與連心線O1O2交于G，若AB=48，⊙O1和⊙O2的半徑分別為30和40，求△AO1O2的面積.

（2）當圓心在公共弦的同側時，如圖8.同法求得S△AO1G=216，S△AO2G=384，類似于（1）求得S△AO1O2=S△AO2G－S△AO1G=384－216=168.

圖7

圖8

由上可見，在數學問題的解決過程中，我們要正確運用分類討論這一數學思想方法，同時也要挖掘其中的隱含條件，恰當地運用整體、數形結合等數學思想，避免一些不必要的分類討論.