運用數學思想巧做因式分解問題

☉江蘇省建湖縣實驗初級中學教育集團 朱 霞

運用數學思想巧做因式分解問題

☉江蘇省建湖縣實驗初級中學教育集團 朱 霞

學習數學不僅是學習知識和提高能力，更是讓學生真正理解數學知識與技能、思想和方法，用數學思想指導知識的應用和能力的提升.掌握數學思想，就能很好地解決因式分解，快捷地解題計算.

一、類比思想，觸類旁通

如果把整數120進行因數分解就是4×5×6，與之相類似的是a2－b2就是（（a+b）和（a－b）的相乘的結果.因此，多項式a2－b2就可以分解為（a+b）（a－b），由此可知（a+b）和（a－b）皆為a2－b2的因式.如此進行類比，不僅很容易就讓學生理解因式分解的意義，而且為因式分解的方法提供了思路，真正是由此及彼，類比曉理.

例1 不用計算器快速算出20122-20112的值.

分析：這是比較大的數字，如果直接平方計算也能算出，但很復雜；如果細看，發現這是完全平方公式的數學應用.a2-b2=（a+b）（a-b），且2012-2011=1很特殊.

分析：這個也是比較大的數字，如果一個一個計算用計算器也很麻煩，但是如果根據學習的因式分解就可以方便快捷的做出來，把99999看做一個公因式提取出來，且剩下的因式相加正好是個整數.

點評：學會了類比思想來分解因式，不僅能很好的理解和掌握知識，而且能提高做題速度和能力，能夠讓學生觸類旁通，培養學生的創新思維.從而很好地完成學生對因式分解概念的遷移，能夠準確分辨出因數分解與因式分解的異同，觸類旁通，舉一反三，真正理解因式分解的概念.

二、分類思想，有序別類

例3 因式分解8ax－4ay+2bx－by.

分析：可以把8ax、-4ay，2bx與－by各分一組或者把8ax、2bx，－4ay、－by各分為一組.

例4 對多項式9m2－6m－4n2+1進行因式分解.

分析：可以把9m2、－6m與1這三個分成一組，把－4n2單列為一組，運用完全平方公式和平方差公式.

點評：運用這類思想一定要有全局意識，分組別類因式分解一定要有前瞻性，要有一雙火眼金睛，準確快速的把多項式的各個項進行分類，然后進行合理地分組，從而讓分解過程更為簡捷，達到因式分解的目的.

三、轉化思想，化繁為簡

例5 對9x2+6x-3進行因式分解.

分析：一般的方法是提取公因式3，但是提取后不能進一步分解，如果根據9x2+6x是完全平方式的前兩項，再加一個1，把-3變成1-4就可以變成完全平方，再進行平方差分解就可以進一步分解.這就是轉化思想的魅力體現.

分析：根據多項的特點，可以先用分類思想進行分類，然后根據分類特點構建平方公式進行轉化，把3轉化成4-1.

點評：解決數學因式分解的習題應該具有轉化思想，在保證整體不變的情況下，對多項式進行有效變形轉化，把整個多項式轉化為我們非常熟悉的容易操作的形式.因式分解，能夠很好地解決一般方法很難解決的試題，能夠快速地算題解題.

四、整體思想，局部換元

例7 因式分解（a2+a）2-14（a2+a）+24.

分析：先把a2+a看做一個整體，用換元法置換.設a2+a=m，然后變成新的簡單多項式，再置換原式.

點評：這是最簡單的運用整體思想局部換元，一看便知把a2+a當做一個整體.還有一些整體現象不明顯時，還應進一步轉化再進行整體思想局部換元.

例8 把（a2-2a）2-2a（2-a）+1分解因式.

分析：這個多項式中，沒有很明顯的局部整體，需要進一步轉化，然后在整體換元.此題要先將-2a（2-a）化為2（a2-2a），然后將（a2-2a）作為一個整體，運用完全平方公式分解.

謀

例9 把4x（x-y）2-12xy（y-x）分解因式.

分析：先把-12xy（y-x）化為12xy（x-y），再把公因式4x（x-y）看作一個整體，運用提公因式法分解.

點評：上述例題的解決，是整體思想的運用，讓看似難解的問題變得容易，讓看似煩瑣的試題變得簡潔.做因式分解這類試題應具備這種宏觀和整體思想，要能從宏觀審視，再從細節入手，整體把握，局部優化.尤其對于結構較為復雜難辨的多項式進行分解，如果把某些局部看做整體處理，多項式的結構就會更加簡潔明朗，問題由繁變簡，很容易進行因式分解，這就是整體思想.

總之，數學學習是掌握知識，遷移能力，更應該感受數學思想.學會運用數學思想巧做因式分解，能夠很好地培養發散性思維、靈活思維；在快速準確做題的過程中，培養思維的深刻性、抽象性；在已學知識的基礎上，對知識進行歸納總結，不斷優化思維品質，培養思維的嚴謹性、批判性.