一類走走停停行程問題的解答

☉浙江省寧波大學理學院數學系 趙玉春 陳 旻

一類走走停停行程問題的解答

☉浙江省寧波大學理學院數學系 趙玉春 陳 旻

本文講述了走走停停行程問題中，每行進固定的距離兩人就休息相同的時間而產生的追及問題的解法，并把它推廣為兩人休息時間點不同的一類題的解法.

行程問題 走走停停問題帶余除法

一、引言

行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體的速度、時間、行程三者之間的關系.行程問題是反映物體勻速運動的應用題.行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個物體的運動，有的涉及兩個物體的運動，有的涉及三個物體的運動.涉及兩個物體運動的，又有“相向運動”（相遇問題）、“同向運動”（追及問題）和“相背運動”（相離問題）三種情況.但歸納起來，不管是“一個物體的運動”還是“兩個物體的運動”，不管是“相向運動”、“同向運動”，還是“相背運動”，它們的特點是一樣的，具體地說，就是它們反映出來的數量關系是相同的，都可以歸納為三個基本公式：速度×時間＝路程；路程÷時間＝速度；路程÷速度＝時間.而走走停停是一類行程問題的總括，這類行程問題一般是兩人在繞著某一環形跑道（包括三角形、四邊形等）運動，每人走一定的時間就休息一定的時間或者在環形跑道上的固定點休息（耽擱）一定的時間，而由此產生的追及問題.追及的地點可以相同，也可以不同，但方向一般是相同的.由于速度不同，所以就發生了快的追上慢的問題.對于行程問題，已有不少人進行了研究，但專一研究走走停停問題的人卻不是很多.因此我們對兩人在某一環形跑道上的固定點休息一定的時間的這類走走停停行程問題進行了研究，并以公式的形式詳細給了出來.

二、例題

關于兩人在某一環形跑道上的固定點休息一定的時間的走走停停行程問題，我們把它分成了兩類：休息時間相同；休息時間不同.對于每一種情況，我們先給出公式的形式，再以具體的例子加以詳細介紹.

1.休息時間相同

設甲、乙兩人分別從A、B兩地同時同向出發，A、B兩地相距n0S0，甲、乙兩人的速度分別為V甲、V乙（V甲＞V乙），且每行S0就停下來休息t0時間.求甲第一次追上乙需要多久.

分析：這里分三種情況討論，討論順序如下：

①在乙休息結束的時候追上，此時甲比乙多休息時間為（n0－1）t0.

②在乙休息過程中且沒有結束時追上，此時甲比乙多休息時間在（n0－1）t0～n0t0.

③在行進過程中追上，此時甲比乙多休息時間為n0t0.

下面來看r與t0之間的關系：

例1 環形跑道周長是800米，甲、乙二人按順時針方向沿環形跑道同時同地起跑，甲每分鐘跑100米，乙每分鐘跑80米，甲、乙兩人每跑200米均要停下來休息一分鐘，那么甲首次追上乙需要多少分鐘？

解：這就相當于乙在甲前方800處，兩人同時向前跑.于是就有S0=200米，n0=4，t0=1分鐘，V甲=100米/分，V乙=80米/分.

2.休息時間不同

解：首先，考慮是不是在乙休息結束的時候追上，

下面來看r與t乙之間的關系.

若0＜r＜t乙，則說明是在乙休息過程中且沒有休息結束時追上的.

若r=0，則說明是在乙剛好要休息時追上的.

若r＞t乙，則說明是在行進中追上的.設此時乙所行走的路程為S，

例2 甲、乙兩只蝸牛沿著一個邊長為12厘米的正方形ABCD爬行，甲蝸牛每秒行3厘米，每次轉彎的時候要停2秒，乙蝸牛每秒行2厘米，而每次轉彎要停1秒，現在甲位于A點，乙位于D點，同時順時針方向爬行.請問甲蝸牛第一次追上乙蝸牛所用的時間.（A、B、C、D逆時針排列）

解：這里S0=12厘米，n0=1，V甲=3厘米/秒，t甲=2秒，V乙=2厘米/秒，t乙=1秒.

三、小結

這類問題一直是困擾學生的難題.對于這一類型的題目，我們該如何下手呢？我們先以公式化的形式給出了具體的模型，然后再以具體的例題給以詳細的講解和說明，相信讀者已經明白，解題關鍵是抓住題目中所蘊涵的等量關系，再根據最基本的關系式（路程=速度×時間；路程÷時間=速度；路程÷速度=時間）以及時間差的等量關系，從而使問題簡單化.

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