數學猜想在初中幾何解題中的應用初探

☉廣東省惠州市惠陽高級中學初中部 陳小明

猜想是人們根據事實的某些現象對它的本質屬性、服從規律、發展趨勢或可能結果作出的一種預測性判斷.猜想與數學有著密切的關系，根據某些已知的事實材料和數學知識，對未知的現象及其規律所作出的一種預測性的推斷即是數學猜想.數學猜想是數學研究的一種科學思維形式，是解決數學理論自身矛盾疑難問題的一個有效途徑，它對豐富數學理論，推動數學科學的發展，促進數學方法論的研究具有重要意義.數學研究是一種探索性思維活動，數學學習活動當然也離不開探索性思維，而探索性思維中最關鍵的環節是提出一個有希望的合理的猜想.數學猜想作為數學研究和發展的一種重要思維方式，它又是科學假說在數學中的具體表現，并深刻反映了數學研究和發展的相對獨立性與數學理論的相互導出的合理性.數學猜想在數學領域的應用很廣泛，在解題時有時憑我們的直覺思維是很難解決的，這時我們從猜想的角度去解決有時會覺得很容易；尤其在考試中，在時間有限的情況下，利用數學猜想往往可以讓問題很快得到解決.考試作為檢查教學質量、學生成績和升學的最主要手段，讓學生學會利用數學猜想解題，顯得尤為重要.下面從數學猜想的直覺性、不確定性、延續性、多樣性這四個特點初探它在初中幾何解題中的應用.

一、數學猜想的直覺性

數學猜想的直覺性就是從數學題目的已知條件直接猜想結論成立.

例1 如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線與∠ABC的平分線交于E，延長AE交△ABC的外接圓于D，連接BD、CD、CE，且∠BDA=60°、∠BDC=120°，猜想四邊形BDCE是怎樣的四邊形，并證明你的猜想.

此題學生經過很久的討論最后猜想是菱形.

證明：因為∠BDA=60°，∠BDC=120°，所以弧BAC的度數為240°，弧BDC的度數為120°，∠BEC=120°，又因為AE平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=30°，所以弧BD=弧CD的度數為60°，所以∠BAD=∠CAD=∠DBC=30°，BD=DC.所以∠DBA=90°，所以∠CBE=∠ABE=30°.所以∠DBE=60°.同理：∠DCE=60°.所以四邊形BDCE為平行四邊形.又因為BD=DC，所以四邊形BDCE為菱形.

從上面這道題可以看出猜想的直覺性是憑直覺獲得感性認識，它常以觀察、聯想、引入等思維方法為基礎，根據已有的知識、經驗和方法，對數學問題廣泛聯想，積極探索，大膽猜想，尋找規律，合理論證，是創造性思維活動的主要途徑.

二、數學猜想的不確定性

數學猜想的不確定性是指猜想的途徑、結果等方面的不確定.有時一道題從表面去猜想幾種答案都有可能，但正確答案又只有一種，這就增加了猜想的難度.看下面例子.

例2 想一想：圓的外切四邊形的兩組對邊的和有什么關系？說明你的結論的正確性.

此題剛提出時，要求同學們自己畫圖，這時有些學生畫出的四邊形是正方形、梯形、任意四邊形.答案也出現三種情況：（1）AB+CD>AD+BC.（2）AB+CD

這時提示學生不要畫特殊圖形，畫圓的外切四邊形為任意四邊形，要求學生證明他們的三種結論，結果是得出答案（3）的學生能證明自己的結論正確.

已知：如圖2，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和圓分別相切于點L、M、N、P.求證：AB+CD=AD+BC.

證 明 ：AB、BC、CD、DA 都 與 圓 相

切，L、M、N、P是切點，AL=AP、LB=MB、DN=DP、NC=MC.AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC=AP+DP+MB+MC，即AB+CD=AD+BC，圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.

圖2

猜想的不確定性有時會把我們引入誤區，這時我們只要一步步地去嘗試了，沒有更好的辦法，然后通過論證去推翻我們一開始的猜想，直到其中有一種猜想是正確的為止.

三、數學猜想的延續性

數學猜想的延續性，也就是在第一次猜想的基礎上，再繼續猜想下去直到猜想的結論成立.

例3 如圖3，已知四邊形ABCD外接圓的半徑為2，對角線求四邊形ABCD的面積.

圖3

此題難度較大，需要幾次猜想延續下去 才能計算出來.開始有同學猜想是平行四邊形、正方形.但都證明不出來.這時提示：猜想一：把四邊形的面積轉化為求三角形的面積. 猜想二：S四邊形ABCD=2S△ABD，猜想三：連接OA，OA⊥BD于H.猜想四：△ABE∽△ACB

四、數學猜想的多樣性

數學猜想的多樣性是指猜想的途徑和結果具備多樣性.一道題的猜想，學生有時猜出多種多樣的猜想結果，但不管是怎樣的結果答案只有一個.

例4 如圖4，BC為半圓O的直徑，A是半圓上的一個動點，且AD⊥BC于D，P是弧AC上的一點，弧PA的長等于弧AB的長，連接PB交AD、AC于E、F.

（1）求證：∠EAB=∠ABE.

（2） 當A在什么位置時，△AEF是等邊三角形？證明你的結論.

證明：（1）因為∠BAE+∠ABD=90°，所以∠C+∠ABD=90°.所以∠BAE=∠C.又弧PA的長等于弧AB的長，所以∠C=∠ABE.

所以∠BAE=∠ABE.

（2）當A在半圓的三等分點時，△AEF是等邊三角形.

圖4

因為∠DAC+∠C=90°，∠AFE+∠ABE=90°，由 （1）得∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠DAC.

所以EA=EF 因為點A三等分半圓，所以∠ACB=30°，所以∠BAC=60°，所以△AEF是等邊三角形.

此題實際上有很多種猜想，比如當AB=1/2BC時，AO的連線垂直平分線段EF，還有一部分學生利用逆推的方法假設它是一個等邊三角形然后再證明.

從以上幾個方面可以看到，用數學猜想解題切合學生實際，符合學生的認識規律，注重知識形成過程，注重學生思維的發展，注重學生能力的培養.它改變了單純的直接的解題模式，實現了以激勵學生為特征的解題模式，符合新課標下快速解題的要求.

猜想是人類認識中最活躍、最主動、最積極的因素之一，是人類理性中最富于創造性的部分.著名科學家牛頓有句名言：“沒有大膽的猜想，就不可能有偉大的發明和發現.”在數學發展史中曾有過很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想、費馬猜想、歐拉猜想等，這些猜想具有劃時代的意義.在初中數學解題中，只要善于運用數學猜想，便能更好地激發學習興趣，培養思維能力，開發智力，從而更好地解決新問題.