指數分布單元組成的典型系統備件數目解析分析方法

金 星， 常 浩， 彭 博， 魯 海

(中國人民解放軍裝備學院， a.激光推進及其應用國家重點實驗室; b.研究生管理大隊，北京 101416)

1 背景

在工程中，快速、準確地確定備件需求量對于提高系統運行可靠性有著舉足輕重的作用。但在分析系統所需備件數量時，由于問題的復雜性很難求出精確解，所以一般采用蒙特卡羅仿真方法計算［1－4］，但蒙特卡羅仿真計算過程十分耗費機時且計算精度不高。例如，相同指數分布單元組成的r/n系統，系統故障概率［5］為

系統不可用度為

這種特殊的被積分函數以及雙重積分計算，即使采用數值計算方法或蒙特卡羅仿真方法，計算過程都將是十分耗時和繁瑣的。因此，工程上迫切需要一種能夠快速并且準確求出備件所需數量的方法。

一般來說，相同分布單元組成的串聯、并聯和旁聯等系統是工程中常見情況，大多數電子產品可以看成是由相同指數分布單元組成的此類典型系統。本文在假定修復時間忽略不計的條件下，采用泊松過程方法，提出系統平均可靠度的解析分析方法，由于此分析方法存在解析解，從而為工程中備件策略的制定提供了簡捷并且物理意義明確的解析分析方法，具有一定的工程實用價值。

2 確定備件數目的基本方法

2.1 按照故障次數確定

設給定時間間隔(0，τ］內，產品故障次數N(τ)是隨機變量，所能提供的備件數目為k，備件充足概率(不缺備件概率)p［N(τ)≤k］滿足

從而可解得備件數目k，備件充足概率是概率指標，工程中應用不直觀、不方便［6－7］。

2.2 按照平均不能工作時間確定

設給定時間間隔(0，τ］內，所能提供的備件數目為k，要求產品平均不能工作時間滿足

式中:U(t)為產品故障概率;T0為平均不能工作時間的上限值，用(0，τ］內平均不能工作時間表示，具有直觀、方便的特點［8］。

2.3 按照平均不可用度確定

設給定時間間隔(0，τ］內，所能提供的備件數目為k，要求產品平均可用度滿足

3 r/n系統的分析模型

為了使問題分析具有一般性，文章對n個相同分布單元組成的r/n系統進行分析，當r=1時代表并聯系統情況，當r=n時代表串聯系統情況。首先采用以下基本假設:1)系統由n個相同的指數分布單元組成，單元故障率為λ;2)故障單元的更換時間忽略不計，即更換時間相對工作時間小很多;3)在(0，τ］時間間隔內，所需備件數目為k。

如圖1所示，在(0，τ］時間間隔內，可修復系統的故障過程分為2個階段。

圖1 可修復系統的故障過程Fig.1 The fault process of repairable system

1)階段1:k個單元依次故障。單元發生故障次數小于或等于k，單元發生故障就有備件進行修理。在任意時刻t(t≤τ)的無限小區間dt內，n個單元中任意一個故障的故障率為nλ，根據泊松過程方法［10］，系統中單元發生k次故障的概率為

2)階段2:無備件條件下故障。此時，單元發生故障次數大于k，沒有備件，系統相當于不可修復系統。在(t，τ］時間間隔內，系統相當于不可修復系統，系統不可靠度為F(τ－t)(F(·)為系統不可靠度表達式)。

因此，在(0，τ］時間間隔內，系統故障的概率為

在(0，τ］時間間隔內，系統平均不能工作時間為

在(0，τ］時間間隔內，系統平均不可用度為

根據式(7)、式(8)或式(9)，可進行系統備件數目分析。

由于r/n系統的不可靠度為

因此，

式(11)中:r為大于等于1的正整數;n為大于等于2的正整數。當r=1時是并聯系統情況;當r=n時是串聯系統情況。

將式(6)和式(11)代入式(7)，可得在(0，τ］內系統故障的概率為

根據式(9)，對上式再進行一次積分才可計算出系統的平均不可用度，可以預見，此特殊的被積分函數和二重積分計算過程將十分繁瑣。針對此問題，首先采用積分變化，將式(12)轉化為一般級數求和。

式中:m為大于等于零的正整數;a為大于零的實數。最后根據式(9)，再利用式(13)積分變換，可計算系統平均不可用度的解析解

4 旁聯系統的分析模型

除了上述討論的r/n系統，在一般典型系統中，還包括一類系統即旁聯系統。它由n個單元組成，任意時刻工作單元只有1個，(n－1)個單元處于備用狀態。現假定系統工作單元故障，通過故障監測和轉換裝置(假定故障監測和轉換裝置的可靠度為1)，切換到待用單元工作，同時更換故障單元，更換時間忽略不計。

若有k個備件的旁聯系統故障，意味著(n+k)個單元依次全部故障，當每個單元的故障率為λ，根據泊松分布可知，在任意時刻t(t≤τ)的無限小區間dt內，單元發生(n+k)次故障的概率為

在任意時間區間［0，t］內，發生第n+k次故障的時間為Tn+k，發生第n+k次故障的概率為

對式(16)利用式(13)積分變化可得

最后，根據式(4)和式(5)，利用式(13)積分變化可得旁聯系統平均不可用度解析解

5 模型計算分析

一般一個典型系統可看作是由3～5個單元構成。這里，假定此r/n系統是由5個單元構成，當r=1(并聯情況)，r=3，r=5(串聯情況)，備件數量 k分別為1～5時，根據式(14)，系統平均可用度A隨λτ的變化情況分別如圖2～圖4所示。

圖2 r/n(r=1，n=5)系統平均可用度A與λτ關系Fig.2 The relationship between average availability A and λτ for r/n system(r=1，n=5)

圖3 r/n(r=3，n=5)系統平均可用度A與λτ關系Fig.3 The relationship between average availability A and λτ for r/n system(r=3，n=5)

圖4 r/n(r=5，n=5)系統平均可用度A與λτ關系Fig.4 The relationship between average availability A and λτ for r/n system(r=5，n=5)

由圖2～圖4所示，可以方便快速地考察系統平均可用度A在不同備件數目k條件下隨λτ的變化情況。同時，當單元故障率和時間已知的情況下，根據系統的構成情況，可以分析此r/n系統達到規定的可用度時所需最小備件數。例如，考察n為5，λτ為相應定值，系統平均可用度分別大于等于90%，95%和99%時所需的最小備件數量，結果如表1所示。

表1 解析法計算r/n(n=5)系統最小備件數Table 1 The minimum number of r/n system spare parts calculated by analytic method(n=5)

同樣，對于旁聯系統，根據式(18)即旁聯系統平均不可用度的解析表達式，可以得到系統平均可用度A隨λτ的變化情況。這里，假定此旁聯系統由5個單元構成，當備件數量k分別為1～3時，系統平均可用度A隨λτ的變化情況如圖5所示。

圖5 旁聯系統(n=5)平均可用度A與λτ關系Fig.5 The relationship between average availability A and λτ of on－off system(n=5)

根據圖5可以快速查出，當n為5，λτ為相應值，系統平均可用度分別大于等于90%，95%和99%時所需的最小備件數量，結果如表2所示。

表2 解析法計算旁聯系統(n=5)最小備件數Table 2 The minimum number of on-off system spare parts calculated by analytic method(n=5)

6 結論

針對蒙特卡羅仿真方法計算備件數量十分耗時且精度不高的問題，提出一種單元服從指數分布條件下典型電子系統備件數目確定的解析分析方法，通過分析可以得到以下結論:1)該解析解計算精度高，速度快;2)以平均可用度作為優化目標，將其與備件數量聯系起來，更加符合工程實際;3)通過計算分析，對于可修復系統，在其他條件均相同的情況下，旁聯系統的平均可用度大于并聯系統平均可用度，且大于串聯系統平均可用度的結論依然成立。

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