量子測距輔助GPS整周模糊度算法

張 豪， 楊春燕， 張 磊， 王浩程

(空軍工程大學信息與導航學院，西安 710077)

0 引言

精密型的GPS信號接收機一般都具有偽距和載波相位兩種基本的觀測量［1］。相對于偽距觀測量而言，GPS的載波相位觀測量能提供非常精確的定位精度。GPS載波相位差分定位利用了基準站和移動站(用戶)之間觀測誤差的空間相關性，通過差分的方式除去移動站觀測數據中的大部分誤差，從而實現高精度定位［2］。利用載波相位定位，關鍵問題就是整周模糊度的解算。對于GPS載波相位觀測信號，在觀測歷元較少的情況下，位置精度因子變化緩慢，會導致整周模糊度解算較為困難。許多學者提出了一些解決的方法，如快速模糊度確定法、模糊度函數法、最小二乘搜索法、最小二乘模糊度降相關平方差法(LAMBDA)等，本文使用LAMBDA算法。

量子定位系統(Quantum Positioning System，QPS)是近幾年發展起來的依靠量子頻率糾纏和壓縮技術的新型定位技術，QPS可以突破無線電導航體制的功率和帶寬限制，達到非常高的定位精度，因此受到很多研究機構的重視。本文研究如何在現有的載波相位差分定位中引入QPS技術。用以提高載波相位差分定位在短歷元內解算整周模糊度的能力，提高定位精度。

1 載波相位觀測方程

考慮載波相位測量誤差，則載波相位觀測方程為［2］

式中:φ為載波相位測量值;λ為衛星發射信號的波長;r為衛星與接收機之間的集合距離;δtu為接收機鐘差;δt(s)為衛星鐘差;I和T分別為對流層和電離層延時;N為整周模糊度;f為載波頻率;εφ為觀測噪聲。

用兩臺接收機分別放在基線的兩端。其中，一臺接收機r作為基準站，其坐標已知，另一臺接收機u作為觀測站。兩臺接收機同時同步地觀測一顆編號為i的衛星并采集數據。對它們的測量值做差，得單差觀測方程為

對于衛星j有類似于上式的觀測方程。對兩顆不同的衛星的單差方程在此做差，即在站間和星間各做一次差分，得雙差觀測方程為

相對定位的目標是求解出基線向量bur，如圖1所示，用戶與基準站到衛星i的單差集合距離，等于用戶到基準站的基線向量bur在基準站對衛星i觀測方向上投影的相反數，即。對于衛星j，類似有。由此可得

再將式(5)帶入式(3)得

圖1 單差和雙差圖Fig.1 Sketch of single difference and double difference

2 整周模糊度解算

式(6)線性化后可概括為［2］

式中:y為接收機給出的雙差載波相位測量值向量;Δbur為未知的基線向量;N為需要被求解的雙差整周模糊度向量;A和B為常系數矩陣。在這里，未知的測量誤差和噪聲均被忽略。

利用最小二乘法求解該線性方程，即求滿足下式的 Δbur和 N。

式中，QN^N^為模糊度的協方差矩陣，搜索使目標函數最小的N作為模糊度的最優解即為在少數歷元的觀測量下進行模糊度搜索時，由于模糊度之間通常具有很大的相關性，整周模糊度的搜索效果并不理想。為了降低模糊度的相關性，提高搜索效率，更準確地確定模糊度，針對以上的問題，LAMBDA算法利用高斯整數轉化矩陣Z達到降相關效果［3－5］，設降相關處理后得到的新的模糊度矢量表示為z，相應的協方差陣為有:，使得目標函數轉換為

式中:χ2表示搜索范圍;為對角矩陣，設上式還可改寫為

確定χ2后，根據上式采取條件最小二乘搜索方法即可確定變換后的整周模糊度。將回代

3 量子輔助

量子測距是基于量子力學和量子信息論提出來的一種測距方法，美國麻省理工學院的研究表明，采用具有糾纏壓縮特性的量子脈沖代替傳統的無線電信號可大幅提升測距系統的精度［6－7］，因為量子脈沖傳播時間的測量精度取決于其頻譜(脈沖帶寬)和功率(單個脈沖所包含的光子數)。當在每個脈沖中大量采用具有量子特性的光子時，脈沖時延的測量精度會大大提高。因為在光子數量密集且頻率糾纏的脈沖中，處于糾纏態的光子具有較強相關性，這些脈沖能夠以相近的傳播速率成束到達，因此增強了信號，提高了檢測到達時間的準確程度，進而明顯提高了測距的精度［8］。

量子測距輔助GPS定位的示意圖如圖2所示，在用戶的短基線范圍內建立發射量子脈沖的信標臺，信標臺和用戶都采用GPS系統時間，信標臺發射量子脈沖的時刻與GPS系統時間嚴格同步，假設所發射量子脈沖的量子壓縮數為Cp、糾纏光子數為Et(采用完全糾纏)，量子傳輸效率為ηen。則發射r個量子脈沖之后所能達到的測距精度為［9－10］

式中:c為光束;δτ為未采用量子壓縮和糾纏時單個光子的定時誤差。假設量子信標臺ECEF坐標為已知，記其到基準站和用戶的矢量分別為m和n。則據圖2可知

圖2 量子測距輔助GPS定位圖Fig.2 Sketch of GPS positioning aided by quantum ranging

由于基準站和量子信標臺的坐標已知，所以m的確定不依賴用戶的觀測量，在實際的量子測距中不能直接測出n，而是得到該矢量的長度，即量子信標臺到用戶的距離。

式中:lK為的真值;δrK為δr在第K個歷元的取值。而n與lK的關系為

從上文可知，利用LAMBDA算法求得雙差整周模糊度的固定解和求得該條件下基準站到用戶的矢量，顯然，此時的取值是與的某一個具體取值相對應的，δrK″的大小體現了的誤差大小。為此，由式(17)和式(19)可以設定判別

比較 ηK和 3σδr，σδr為 δr的均方值。當 ηK＞3σδr時，認為此時的取值不符合要求;當 ηK≤3σδr時，則認為 N的取值符合要求。

4 仿真分析

根據荷蘭Delft大學所發布的載波相位實測數據，在剔除仰角小于10°的GPS衛星數據之后，共得到了6顆衛星的22個歷元觀測數據。以第1個歷元為參考歷元，該6顆衛星相對于用戶的PDOP變化見圖3。

圖3 用戶的PDOP變化Fig.3 The change of PDOP at different epochs

由此可見，在短觀測歷元下，定位的PDOP變化是很小的，模糊度的相關性很大，只有采用降相關手段，減小相關性以后才能正確解出整周模糊度。在定位解算過程中，選取仰角最大的衛星為參考衛星，并進行后續的載波相位整周模糊度求解。由于觀測的歷元數較小，所以參考衛星在整個定位解算過程中并沒有發生變化。此外，量子脈沖測距是通過仿真得到的，而并非實際數據。在總的觀測歷元內，用戶與量子信標臺的相對距離跟基線距離相比相差不大。

選取如下兩種情況進行定位仿真:1)采用LAMBDA算法;2)采用高精度量子脈沖輔助(量子壓縮光子個數為2;最大糾纏光子個數為5;傳輸效率為98.5%)。兩種情況得到的基準站到用戶的基線矢量求解結果誤差分別如圖4、圖5所示。

圖4 基線誤差(采用LAMBDA算法)Fig.4 Baseline error of LAMBDE method

由此可見，在高精度量子脈沖測距的輔助下，可以有效提高短觀測歷元內的整周模糊度求解準確性。

圖5 基線誤差(采用量子測距輔助)Fig.5 Baseline error aided by quantum ranging

5 結論

利用LAMBDA算法進行降相關處理，可以有效地降低模糊度之間的相關性。高精度量子測距可以限制整周模糊度固定解取值范圍，可以有效提高固定解的求解準確性，因此可以改善短觀測歷元內整周模糊度的準確求解問題。

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