基于滾轉角速率的無人機橫側向控制律設計

李春濤， 范淑娜

(南京航空航天大學自動化學院，南京 210016)

0 引言

小型無人機憑借其操作容易、經濟實惠、維護方便等特點，受到越來越多人的青睞，近來對小型無人機飛行控制的研究也更加廣泛。由于多數小型無人機存在一類似的特點:繞X軸的轉動慣量較小，副翼的舵效高，受到擾動后滾轉角速率變化非?？?，使得其橫側向控制成為飛行控制的難點［1－2］。由于無人機存在這樣的特性，使得常規的以滾轉角為主要反饋信號、滾轉角速率用來增加滾轉阻尼的橫側向控制器很難滿足設計要求。為解決這一問題，文獻［1］采用了動態逆和H∞相結合的方法，設計了滾轉角控制器，該控制器具有較強的魯棒性，但是對模型精度的要求較高，具有一定的局限性，而且反饋線性化的過程相當繁瑣，不利于工程上的應用。文獻［2］采用神經網絡的方法實現小型無人機橫側向航跡跟蹤，但在設計過程中，使用多種類型的無人機狀態反饋信號，限制了其在工程中的應用。本文在經典PID控制的基礎上，利用魯棒伺服LQR的方法，設計了一種以滾轉角速率為內回路的小型無人機橫側向控制律。仿真研究結果表明，基于滾轉角速率的控制律能很好地抑制各種干擾的影響，滿足樣例無人機橫側向控制的要求。

1 問題提出

由動力學方程和運動學方程［3］構成的無人機非線性數學模型，其狀態空間描述式為

式中:t為時間;x為狀態;u為控制輸入;y為輸出。狀態量 x=［φ，θ，ψ，P，Q，R，U，V，W，Xe，Ye，Ze］T，分別為滾轉角、俯仰角、航跡角、滾轉角速率、俯仰角速率、偏航角速率、機體坐標軸上的速度分量、縱向位移、側向位移、高度;控制量 u=［δe，δa，δr，δT］T，分別為升降舵偏角、副翼偏角、方向舵偏角、發動機油門開度。以無人機的直線定常無側滑飛行作為基準運動，利用小擾動方法，得到橫側向線性運動模型為

其中

C 為單位陣;D 為零;狀態量 x=［φ，ψ，p，r，v，ye］T;輸入量 u=［δa，δr］;輸出量 y=［φ，ψ，p，r，v，ye］T。

從A陣和B陣中可以看出，樣例無人機自身的滾轉角速率的衰減率為－2.3(°)/s，而單位副翼引起的滾轉角速率變化為－43.0(°)/s，這也表明了樣例無人機橫側向轉動慣量小、副翼效率高的特點。

2 控制律設計

控制系統一般由控制回路(內回路)和制導回路(外回路)構成?？刂苹芈肥峭饣芈房刂频幕A，其性能優劣直接影響制導回路的控制結果，影響無人機的飛行性能。本文采用魯棒伺服LQR優化方法設計控制增益，與一般線性二次型(LQR)方法相比，魯棒伺服LQR方法將積分控制引入到狀態反饋中，提高了系統跟蹤、抑制擾動的能力［4－7］。

2.1 滾轉角速率控制律設計

從樣例無人機的線性化模型式(2)中抽取狀態x=P，y=P，得到:Ac= －2.2643，Bc= －42.9697，Cc=1，Dc=0。

選取輸出信號為滾轉角速率P，則跟蹤誤差表示為

由式(3)，將輸出信號P跟蹤轉化為對跟蹤誤差e的調節。將跟蹤誤差e增廣為系統的狀態量，得到新的狀態方程為

式(4)中，各變量定義如下

根據LQR優化控制理論，選取性能指標函數

選取合適的性能加權矩陣Q與控制加權矩陣R，解黎卡提方程［6］即可求得控制增益

在選取性能加權矩陣Q與控制加權矩陣R的過程中，由于兩者有相對比例關系，將R設置為1。給出性能加權矩陣Q=diag{q1，q2}與時頻域控制品質性能的關系，由此確定加權矩陣Q。加權矩陣Q中各項與控制器的超調量、相位裕度、截止頻率和回差矩陣奇異值之間的關系見圖1，性能加權矩陣Q的選取流程如圖2所示。

圖1 Q與性能指標關系曲線Fig.1 Relationship between Q and performance

圖2 性能加權矩陣Q選取流程Fig.2 Flow chart for selecting performance weighting matrix Q

于是有

根據式(8)可以得到基于滾轉角速率控制器的結構如圖3所示。

圖3 滾轉角速率控制器結構示意圖Fig.3 Structure diagram of roll rate controller

滾轉角速率控制器的數學表達式為

由式(2)～式(8)可知，魯棒伺服LQR方法通過將控制指令誤差增廣為新的系統的狀態量，利用狀態反饋引入積分控制，提高系統型次，消除穩態誤差。采用這種結構的滾轉角速率控制器時，若無人機受到擾動，積分項的作用會使得滾轉角速率迅速回到給定值。

2.2 滾轉角控制器設計

圖4為滾轉角控制器的結構示意。

圖4 滾轉角控制器結構示意圖Fig.4 Structure diagram of roll angle controller

滾轉角控制器數學表達式為

由式(10)可得

即

圖5 滾轉角控制器階躍響應Fig.5 Step response of roll angle controller

圖6 滾轉角控制器伯德圖Fig.6 Bode diagram of roll angle controller

表1 滾轉角控制器時頻域控制品質Table 1 Control quality of roll angle controller in time-frequency domain

表1中的min(I+L(s))和min(I+L－l(s))分別為回差矩陣奇異值的最小值、逆回差矩陣奇異值的最小值。min(I+L(s))和min(I+L－l(s))越大，表明系統越穩定。

由圖5可知，這種滾轉角控制器存在穩態誤差，圖6的低頻段也說明了這一現象。這一現象的物理意義是:無人機按某一滾轉角滾轉時，滾轉角變化率偏航角變化率根據動力學方程

3 制導律設計

無人機橫側向制導回路的目標是使無人機以足夠的準確度保持或跟蹤預定的飛行航跡。若無人機偏離給定航跡，制導裝置將測出其偏差，并以一定的控制規律控制姿態內回路，使無人機回到給定的航跡。本文采用控制律的結構如圖7所示，數學表達式為

圖7 航跡跟蹤控制器結構示意圖Fig.7 Structure diagram of path tracking controller

從飛機的橫側向動力學可知，飛機在橫側向的軌跡運動是基本沒有阻尼的，如果僅采用側偏的比例控制，勢必形成軌跡運動的周期振蕩，航跡角就是用來阻尼軌跡運動的，使軌跡運動形成良好的二階環節特性，達到期望的軌跡控制指標。引入航跡角積分來消除系統的穩態誤差。這種控制器結構在滾轉角等存在測量誤差時，可以無誤差地跟蹤航跡。無人機協調轉彎時滿足

其中，ay為側向加速度。當 φ≤20°時，tan φ≈φ，則

由航跡角的定義可得

由式(14)得

把式(16)、式(17)代入式(18)可得

這是一個典型的二階環節，寫成

由式(14)得

即

圖8 航跡跟蹤控制器階躍響應Fig.8 Step response of path tracking controller

圖9 航跡跟蹤控制器伯德圖Fig.9 Bode diagram of path tracking controller

表2 航跡跟蹤控制器時頻域控制品質Table 2 Control quality of path tracking controller in time-frequency domain

4 仿真驗證

選取樣例無人機飛行狀態為:海拔高度2000 m，速度40 m/s，迎角3.5°。在平飛狀態下，分別在連續域和數字域下對樣例無人機的滾轉角控制器進行仿真，并與常規的滾轉角控制器進行比較。常規滾轉角控制器為

在連續域中給定滾轉角為20°，兩種滾轉角控制器的響應曲線見圖10，對應的滾轉角速率的響應曲線如圖11所示。

圖10 滾轉角響應曲線Fig.10 Response of roll angle controller

圖11 滾轉角速率響應曲線Fig.11 Response of roll rate controller

從圖10和圖11中可以看出，在連續域中，兩種滾轉角控制器都能滿足控制要求。但常規的滾轉角控制器在開始時有一個很大的滾轉角速率沖擊，這體現了樣例無人機橫側向的特性，而用本文設計的基于滾轉角速率的滾轉角控制器就可以很好地抑制這種特性。由圖10可以看出，本文設計的滾轉角控制器的響應速度比常規滾轉角控制器慢。對常規滾轉角控制器而言，滾轉角指令直接轉化為舵面;而本文設計的滾轉角控制器中，滾轉角指令先轉化為滾轉角速率指令，通過滾轉角速率的積分轉化為舵面，這是一個相對較慢的過程，成功抑制了滾轉角速率的變化速度，使得滾轉角響應較平緩，超調很小。

現代無人機采用數字式飛行控制系統來完成各種飛行任務，對本文提出的滾轉角控制律和式(23)控制律離散化后，仿真驗證其控制品質。樣例無人機控制律解算周期為20 ms、傳感器采集頻率為100 Hz。給定滾轉角為20°，兩種滾轉角控制器的響應曲線見圖12、圖13，對應的滾轉角速率的響應曲線如圖14、圖15所示。

由圖12～圖15可以看出，式(25)給出的基于滾轉角的滾轉角控制器在數字域中無法實現滾轉角控制，對應的滾轉角速率變化非常劇烈，而本文給出的基于滾轉角速率的滾轉角控制器的控制效果非常好，滿足滾轉角控制的要求。這種控制器在連續域中的調節時間為11 s，滾轉角速率的最大值為5(°)/s;在數字域中的調節時間為10 s，滾轉角速率的最大值為7.4(°)/s，該控制器在不同的環境中控制效果基本相同。

圖12 常規滾轉角控制器響應Fig.12 Response of conventional roll angle controller

圖13 基于滾轉角速率的滾轉角控制器響應Fig.13 Response of roll angle controller based on roll rate

圖14 常規滾轉角控制器的滾轉角速率響應Fig.14 Response of roll rate of conventional roll angle controller

圖15 本文中的滾轉角控制器的滾轉角速率響應Fig.15 Response of roll rate of roll angle controller in this paper

圖16 、圖17給出了常規滾轉角控制器和本文設計的基于滾轉角速率的滾轉角控制器在連續域和離散域中的伯德圖。

可以看出，離散化對系統穩定性的影響很小，可以忽略，這就說明了常規滾轉角控制器在數字域中無法實現滾轉角的控制不是系統離散化造成的。造成滾轉角發散的主要原因是:在一個采樣周期內，副翼保持為一定值，由于樣例無人機繞X軸的轉動慣量小、副翼效率高，會產生很大的滾轉角速率，使得常規控制器中的成為主控項，進而無法實現滾轉角的控制。而本文設計的滾轉角控制器中的滾轉角速率積分就可以抑制滾轉角速率的快速變化。

圖16 常規滾轉角控制器連續域與離散域伯德圖Fig.16 Bode of conventional roll angle controller in s and z domain

圖17 本文中的滾轉角控制器連續域與離散域伯德圖Fig.17 Bode of roll controller based on roll rate in s and z domain

為了驗證航跡跟蹤控制器，本文在滾轉角存在測量誤差(2°)、樣例無人機存在一個恒定的滾轉力矩(100 N·m)和存在隨機的滾轉力矩(白噪聲)的情況下對其進行仿真，如圖18所示。

可以看出，這種航跡跟蹤控制器在存在各種擾動的情況下，均可以實現無差的航跡跟蹤。

圖18 基于滾轉角速率的航跡跟蹤控制器響應Fig.18 Response of path tracing controller based on roll rate

5 結束語

本文根據樣例無人機的特點，給出了一種基于滾轉角速率的橫側向控制方案，分別對姿態控制器和航跡跟蹤控制器進行了研究，并與基于滾轉角的姿態控制器進行比較。仿真結果表明，基于滾轉角速率的控制器抗干擾能力強、魯棒性好。

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