一類函數不等式的根源及應用

●張世林 譚柱魁 覃德才 (巴東一中 湖北巴東 (444300)

在近幾年各地的高考壓軸題中大量存在構設輔助函數證明不等式和求參數取值范圍的問題.這類問題具有極強的綜合性和思考性，小題之間由易到難，層層遞進，聯系緊密，渾然一體，入手容易，深入難，可使知識水平、能力層次不同的學生各有所得，具有較高的區分度.在解法方面，特別重視導數工具作用的考查，其中有一類函數不等式在高考試題中出現的頻率較高，有必要對其進行深入探討.

1 問題提出

設函數f(x)=axn(1-x)+b(x＞0)，n為正整數，a，b為常數，曲線 y=f(x)在(1，f(1))處的切線方程為x+y=1.

(1)求 a，b的值;

(2)求函數f(x)的最大值;

學生在處理本題第(1)和第(2)小題時，一部分基本功扎實的考生能夠正確迅速求解，但是第(3)小題卻少有考生問津，分析其中的原因，除了考試時間不夠外，第(3)小題也確有較大的難度，同時也暴露出考生綜合運用數學知識進行推理論證的能力較為薄弱.現就第(3)小題的證法進行深入探究.

2 合作共探，改進證法

參考答案如下：

在(0，1)上，φ'(t) ＜0，即 φ(t)單調遞減;在(1，+∞)上，φ'(t) ＞0，即 φ(t)單調遞增，故 φ(t)在(0，+∞)上的最小值為φ(1)=0，從而故所證不等式成立.

絕大部分考生在驚嘆考題設計之精巧、解答天衣無縫的同時，仍一頭霧水，滿腹疑慮，為什么一開始就能構設出如此精準的輔助函數φ(t)，而不設成其他形式?其中有沒有規律可尋?涉及不等式證明的試題真是“自古華山一條路”，可望而不可及嗎?

帶著疑問，師生交流，合作共探，對參考答案的解法作出了以下改進：

兩邊取自然對數，只要證

從而只要證

根據不等式(1)的結構特征，令所以g(t)在(0，+∞)單調遞增，即

在改進后的證法中，分析與綜合互相結合，構設輔助函數自然流暢，給人以水到渠成之感，易于為師生所理解并認同，從而消除了參考答案中構設輔助函數生硬、突然、深不可測的神秘和恐懼之感，增強了戰勝這類問題的信心.

3 嘗試變換，追根溯源

導數的引入為某些不等式的證明開辟了一條全新的途徑，上述改進的證法中采用了一個重要的蘊涵著高等數學背景的函數不等式：

若 x＞ -1，則

特別地，若 x＞0，則

事實上，上述不等式的源頭仍在教材之中，它可由人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數學》(選修2-2)第32頁第1題的第(3)小題“ex＞1+x(x≠0)”，經過適當的變換而得：

用-x替換x，得e-x＞1-x，再取倒數得

兩邊取自然對數，得

在式(5)的兩邊用x-1替換x，得

在(6)的兩邊取自然對數，得

由式(5)，式(8)聯立，得

在式(10)的兩邊取自然對數，得

由式(4)，式(11)聯立并取自然對數，得

在式(13)中，取 k=1，2，…，n，得到的不等式相加，可得

在式(7)的兩邊令 x=k2(k≥2，k∈N*)，得

令 k=2，3，…，n，得到的不等式相加，可得

因此，在證明含有自然對數“ln”或“e”的數列不等式時，可以考慮構設輔助函數.證得上述函數不等式，再嘗試對函數不等式中的x賦予與n有關的恰當的值，這是證題的關鍵;然后或裂項求和，或放縮后求和，或求和后放縮.它要求我們對函數、數列、不等式、導數的知識能夠靈活地轉換和熟練地運用.

4 以題攻題，觸類旁通

近年來，在全國各地的高考試題或模擬試題中，有不少是由上述重要的函數不等式衍生而來的.

(1)試求函數f(x)的單調區間;

(2)已知各項不為0的數列{an}滿足

分析(1)利用函數的不動點的意義可求得

(2)可求得an=-n(n∈N*).①待證不等式即為

取k=1，2，…，2 012，裂項相加求和即得所證不等式.

例2 已知函數f(x)=ex-x(e為自然對數的底數).

(1)求函數f(x)的最小值;

(2012年廣東省廣州市高三數學模擬試題)

分析(1)易得f(x)min=f(0)=1.

(2)由不等式(2)知：若 x＞ -1，有

分別取 k=n-1，n-2，…，2，1，0，再同向相加，得

評注第(2)小題的證明中，“e”究竟是如何變化出來的呢?只要將不等式(2)的對數式改寫成指數式，再對x賦值、求和、放縮即可.

5 演練身手，鞏固提升

(1)求a的值及f(x)的最大值;

(3)設 g(x)=b(ex-x)，若 f(x)≤g(x)恒成立，求實數b的取值范圍.

(2012年湖北省武漢市數學調研試題)

(1)用 a表示 b，c;

(2)若f(x)≥lnx在［1，+∞)上恒成立，求 a的取值范圍;

(2010年湖北省數學高考試題)

3.證明：對任意的正整數n，有

(2007年山東省數學高考理科試題)

(1)求 a，b的值;

(2012年遼寧省數學高考理科試題)f(x)=ln2(1+x)- x21+x.

5.已知函數

(1)求函數f(x)的單調區間;

(2008年湖南省數學高考試題)