一道例題及其變式的設計和初探

●王 云 (浙江師范大學教育碩士 浙江金華 321004)

“幾何概型”是人教版高中《數學》(必修3)第3章中的內容.幾何概型是一種概率模型，它不同于古典概率，建立幾何模型要求隨機試驗的可能結果是無限的且試驗結果在一個區域內均勻分布.隨機事件概率的大小與隨機事件所在區域的形狀、位置無關，只與該區域的大小有關.幾何概型把概率問題與幾何問題(長度、面積與體積)完美結合，體現了數形結合思想的運用.在實際教學中，如何選擇度量刻畫所涉及的幾何圖形是幾何概型教學的難點之一.針對這一情況，在幾何概型第2課時的教學時，筆者設計了如下例題及其相關探究：

例1 如圖1，設M為線段AB的中點，在AB上任取一點C，求3條線段AC，CB，AM能構成三角形的概率.

圖1 圖2

問題1 滿足條件的x是有限個，還是無限個?能否用古典概型來解決這個問題?

問題2 幾何概型中可用長度、面積、體積來解決問題，對于此問題，大家覺得用什么來解決好呢?為什么?

通過這2個問題引導學生區分幾何概型與古典概型，讓學生體會如何運用數形結合思想解決問題.此題因只設有一個未知數，可以嘗試用一維的幾何(即線段的長度)來解決，具體解法如下：

講授完該例題后，學生對幾何概型題有了初步的認識，第3個問題也就隨之而來.

問題3 例1中只有一個未知數，在解題過程中用線段長度的比值解決了該問題.設想如果有2個未知數是不是還能用這一方法解決?請大家看探究1.

探究1 將一條長為1 m的繩子，剪2刀后，分成了3段，問恰能構成三角形的概率?

比較例1的解法，可設3條邊長分別為x，y，1-x-y.探究1與例1一樣也是構成三角形問題，但不同的是，探究1設了2個未知數x，y.設“能構成三角形”為事件B，則樣本空間

此時可引導學生用幾何概型解題.

問題4 探究1能否用線段長度的比值求解?與例1相比較，有何不同之處?大家能否找到解題的途徑?

圖3

針對數學學有余力的學生可進一步提出如下探究2，嘗試從二維面積測度向三維體積測度轉變.

探究2 在線段［0，a］上隨機地投3個點，試求由原點O到此3點的3條線段能構成一個三角形的概率.

如圖4，由題意設組成三角形的3條線段分別為OA=x，OB=y，OC=z，并記“能組成三角形”為事件C，容易得到樣本空間

圖4

在三維空間Ω中表示邊長為a的立方體.同樣，事件C要求滿足此題的難點是如何正確作出C所表示的空間圖形.可先以x+y＞z為例，類比二維平面中y＞x的作圖法講解.

問題5 請學生回憶，在平面直角坐標系中如何作出y＞x的圖像?如何確定直線y=x?y=x與y＞x有何區別與聯系?

此問題已轉變為線性規劃問題.不等式的作圖可通過等式的作圖來實現，即作出區域的邊界并驗證區域滿足不等式.教師要注意引導學生回憶探究中經過兩點作一條直線的方法，為解題做好鋪墊.

問題6 將二維升至三維，如何作出x+y＞z的圖像?它與x+y=z之間是否存在著聯系?

問題7 x+y=z是否表示一條直線?如果不是直線，那么它表示什么呢?

問題8 2個點可以確定一條直線，類似地，在空間幾個點可以確定一個平面?這些點有沒有其他的要求?

設計這一系列的問題，目的是為學生的思考做鋪墊，進而引導學生思維的轉換，即等式與不等式之間的轉換、直線與平面之間的轉換、二維與三維之間的轉換、面積與體積之間的轉換.此間可讓學生進行合作討論，從而得出結論.

不妨設a=1，可通過不共線的3個點A(1，0，1)，O(0，0，0)，B(0，1，1)，先確定平面 x+y=z，即平面AOB;先通過特殊值驗證點C(1，1，1)滿足不等式，可得不等式x+y＞z表示平面AOB位于點C一側所在的部分空間(如圖5);同理，可依次作出其他2個平面AOD和BOD(如圖6).事件C在空間中表示多面體OABCD內部，而樣本空間Ω表示為整個立方體，可得

圖5 圖6

在解題過程中學生對一維或二維比較熟悉，而對三維的空間直角坐標系還不是很了解.在講解探究2的過程中，根據學生的具體情況可引導學生先降維.樣本空間為

Ω ={(x，y，z)|0 ＜x＜a，0 ＜y＜a，0 ＜z＜a}，若把其中的x，y當成是未知數，把z看作為參數，不妨設0＜x＜y＜z＜a，這樣一來原本的樣本空間可以修改為

事件C'要求滿足

即可，下面可用面積測度解決該問題.

如圖 7，Ω'表示三角形OBC的內部，而事件C'中的x+y＞z表示為斜率為 -1、截距為z的直線x+y=z的一側，并對任意的0＜z＜a成立.經分析可得 C'應為△GBC的內部，可得

圖7

綜上所述，從例1、探究1到探究2都涉及到三角形的構成問題，其例題及其變式教學設計旨在引導學生區分古典概型與幾何概型.經歷建立幾何概型問題的數學模型過程，即選擇恰當的度量(長度、面積、體積)建立一維、二維和三維幾何概型的模型.在課堂教學中，筆者運用了上述設計并滲透類比推理、數形結合和降維等思想方法，取得了較好的教學效果.

以上是筆者在幾何概型教學方面所作的一點嘗試，期待和同仁探討，共同提高.