解析幾何中“設而不求”的常用技巧

●趙忠平 (永昌縣第一高級中學 甘肅永昌 737200)

解析幾何綜合問題作為每年數學高考的壓軸題型之一，能夠有效地考查學生的思維能力和運算能力.由于解題過程中經常出現大量的參數，需要用到“設而不求”的思想方法進行消參，許多學生感到運算難度大、解題正確率低.本文總結解析幾何中“設而不求”的幾種常用技巧，僅供參考.

1 利用曲(直)線定義

例1 過圓外一點P(2，-1)引圓x2+y2=1的2條切線，求經過2個切點的直線方程.

分析設2個切點分別為 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則切線方程為

因為切線方程過點P(2，-1)，所以

可見 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都滿足方程 2x-y=1.因此，經過2個切點的直線方程為2x-y=1.

例2 已知雙曲線的方程是16x2-9y2=144，F1，F2是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.

點評曲線定義中往往包含“數”與“形”的特征，巧妙運用曲線定義可以達到在運算中進行“整體代換”的目的.

2 利用韋達定理

例3 已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經過原點O.若存在，寫出l的方程;若不存在，請說明理由.

分析設存在這樣的直線 l：y=x+b，代入x2+y2-2x+4y-4=0，得

設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

由題意OA⊥OB，得

將式(1)，式(2)代入式(3)得

即b=1或b=-4.易驗證b=1或b=-4時，Δ＞0，故直線l存在，其方程為y=x+1或y=x-4.

點評直線與曲線位置關系的綜合問題一般可以通過聯立方程組消去一個變量，得到關于另外一個變量的二次方程，再運用韋達定理表示弦長、面積、弦中點、弦的垂直平分線方程等，在運算中進行“整體代換”，消去多余參數.

3 利用“點差法”

例4 過點M(-2，0)的直線 l與橢圓 x2+2y2=2交于點P1，P2，線段P1P2的中點為P.設直線l的斜率為k1(k1≠0)，設直線OP的斜率為k2，則k1k2= ______.

分析設 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)，則

兩式相減得

點評與“弦中點”有關的問題或與曲線上2個點斜率有關的問題通常可以運用“點差法”進行“整體代換”，從而簡化運算.

4 利用方程“整體”結構

分析設 A1(-a，0)，A2(a，0)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)，則直線A1M的方程為

直線A2N的方程為

式(4)×式(5)，得

因為(x1，y1)在雙曲線上，所以

當a=b時，軌跡為以原點為圓心、以a為半徑的圓;當a≠b時，軌跡為橢圓.

點評利用方程整體結構特點，兩式相加或相乘消去多余參數，從整體上實現對方程的化簡也是一種常用的“設而不求”技巧.

5 利用焦半徑公式

因此AC中點的橫坐標為4.

點評與曲線上點到焦點有關的問題常常利用焦半徑公式化簡，可以起到“整體代換”的作用.

6 利用“特征構造法”

例7 ADB為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且 OD⊥AB，Q為線段 OD的中點.已知|AB|=4，曲線C過點Q，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變.

(1)建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程;

分析(1)略.

點評由2個結構特征完全相同的等式(或不等式)可以先構造方程(或不等式)，再利用根與系數關系實現“設而不求”.