盤點導數應用的五大“誤區”

●陳玉蘭 吳志鵬 (德化縣第一中學 福建德化 362500)

導數是研究函數性質(單調性、極值、最值等)及其圖像的有力工具，但如果對導數的概念、性質理解不到位，就會在解決函數問題時出現不應有的失誤，學生在解決導數問題時也就容易出現對而不全的現象.本文結合具體案例，對學生在學習導數過程中出現的易錯點進行剖析，希望對讀者有幫助和啟發.

1 對“過曲線上某點的切線”與“在曲線上某點處的切線”的含義認識模糊

導數的幾何意義指出：函數在某點處的導數就是曲線在該點處切線的斜率.由導數的幾何意義可知，利用導數求曲線在點x0處的切線方程，可分成以下2步：

(1)求出函數y=f(x)在x0處的導數，即求曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的斜率;

(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).

特別地，如果曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線平行于y軸，這時導數不存在，根據切線定義，可得切線方程為x=x0.

例1 求曲線f(x)=-x3+3x過點A(2，-2)的切線方程.

錯解 因為點A在曲線f(x)=-x3+3x上，且 f'(x)=-3x2+3，所以

故所求切線方程為y+2=-9(x-2)，即

正解 設在曲線上的切點為P(x0，y0)因為

所以在點P處的切線方程為

又因為切線過點A，所以

當x0=-1時，切線經過點 P(-1，-2)和A(2，-2)，切線方程為y=-2;當x0=2時，切線方程為9x+y-16=0.

分析錯解中遺漏了y=-2這條切線，失誤的原因是把過點A的切線理解成在點A處曲線的切線.曲線在點A處的切線指的是切點在點A處的切線，而過點A的切線除了切點在點A處的切線外，還可能存在切點不在點A處而經過點A的切線，兩者是有區別的.因此，解題時必須理清頭緒，分清這2個易混淆的概念.其實，“曲線在某點處存在切線”不是“過曲線上某點存在切線”的充分必要條件，而是充分不必要條件.

2 誤認為切線斜率的取值范圍與割線斜率的取值

范圍等價

例2 已知函數f(x)=-x3+ax2(a∈R)，若函數圖像y=f(x)上任意2個不同點的連線斜率小于1，求實數a的取值范圍.

錯解因為f(x)=-x3+ax2(a∈R)，所以

又因為函數y=f(x)圖像上任意2個不同點的連線斜率小于1，所以f'(x)＜1，即

對任意x∈R恒成立，從而

分析由拉格朗日中值定理，若函數f(x)滿足：

(1)在［a，b］連續;

(2)在(a，b)可導，

由這個定理可知，連續函數的圖像在［a，b］上任意2個點的連線總與它在(a，b)上的某條切線平行，即f(x)在［a，b］上任意2個點的割線斜率與其在(a，b)上某點ζ處的切線斜率相等.由拉格朗日中值定理獲得的結論并不具有充要性，錯解中f'(x)＜1是f(x)任意2個點連線斜率都小于1的充分不必要條件，即f(x)在R上任意2個點連線斜率的取值范圍是其導函數f'(x)值域的子集.也就是說，對于某一點處的導數，不存在函數f(x)上2個點連線斜率與之相等.

例如，函數f(x)=x3，設其圖像上的任意2個點為(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2)，則過這 2 個點連線的斜率為

而f'(x)=3x2≥0，顯然切線斜率的取值范圍與割線斜率的取值范圍并不等價.

正解1 (構造函數法)

不妨設 x1，x2∈R，且 x1＜x2，則

恒成立，即f(x2)-x2＜f(x1)-x1成立.令g(x)=f(x)-x=-x3+ax2-x，則

即函數g(x)為R上的減函數，故

對x∈R恒成立，即

正解2 (放縮法)

設曲線上任意 2 個點為(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2).由題意得

3 錯解了“導數為0”與“有極值”的邏輯關系

對于滿足 f'(x0)=0的點 x0(稱為駐點)，f'(x0)=0是x0為函數f(x)的極值點的必要而非充分條件.如果把駐點等同于極值點，則容易導致錯誤.

錯解由已知得

因此當 x＜a時，g'(x)＜0，即 g(x)在(-∞，a)上單調遞減.由(a-6，2a-3)?(-∞，a)，得

故所求的取值范圍為-3＜a≤3.

分析以上解法忽略了一個小細節，解題過程中用到f'(x)=0，即x=1是f(x)的駐點，那x=1是不是函數的極值點呢?

如果a=1，那么x=1就只是函數f(x)的拐點而非極值點，而由條件知f(x)在x=1處取得極值，因此應排除a=1.從而實數的取值范圍應是-3＜a＜1且1＜a≤3.

一個可導函數在某點處的導數為0是在該點取極值的必要而非充分條件，即可導函數在某處取得極值，則函數在此處的導數值必等于0;反之，若導數在某處的值為0，則函數在該處不一定取得極值，還須進一步檢驗f'(0)在f'(x)=0的根的左右2邊的導數值的符號.

4 誤認為極值只能在導數為0的點處取得

設函數f(x)在點x0附近有定義，且若對x0附近的所有的點都有 f(x)＜f(x0)(或 f(x)＞f(x0))，則稱f(x0)為函數的一個極大(小)值，稱x0為極大(小)值點.

求可導函數f(x)極值的步驟：

(1)求導數f'(x)，令f'(x)=0.

(2)求方程f'(x)=0的根.

(3)檢驗f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右側的符號.如果在根的左側附近為正，右側附近為負，那么函數y=f(x)在這個根處取得極大值;如果在根的右側附近為正，左側附近為負，那么函數y=f(x)在這個根處取得極小值.

例4 求函數f(x)=|x2-2x-3|的極值.錯解 因為

令 f'(x)=0，得x=1.當 -1＜x＜1時，f'(x)＞0;當1＜x＜3時，f'(x)＜0.因此當x=1時，函數有極大值4.

分析在確定極值時，只討論滿足f'(x)=0的點x0附近導數的符號變化情況是不全面的，在導數不存在的點處也可能存在極值.在上述解法中，顯然忽視了討論x=-1和x=3處導數不存在的情況，從而產生了丟根的情況.正確的結果還應包括在x=-1和x=3處函數取到極小值0.當然，本題若直接畫出函數圖像，則一目了然了.

5 曲解了“導數值的符號”與“函數單調性”的關系

設函數f(x)在某個區間內可導，若在此區間f'(x)＞0，則 f(x)在此區間內為增函數;若f'(x)＜0，則f(x)在此區間內為減函數.利用導數解決函數的單調性問題時，除了掌握以上依據外，還應明確以下幾點(現以增函數為例來說明)：

(1)f'(x)＞0是可導函數f(x)在定義域內單調遞增的充分不必要條件.如函數f(x)=x3在(-∞，+∞)上單調遞增，但f'(x)≥0.

(2)f'(x)≥0是可導函數f(x)在定義域內單調遞增的必要不充分條件.若f(x)為增函數，則一定有f'(x)≥0，但反之不一定成立：因為f'(x)≥0為f'(x)＞0或f'(x)=0兩者之一成立即可.當函數在某個區間內恒有f'(x)=0，則f(x)為常數，函數不具有單調性.

(3)f'(x)≥0且f'(x)在定義域內的任意子區間不恒為0是可導函數f(x)在定義域內單調遞增的充要條件.

例5 已知函數f(x)=ax3-x2+x在R上是增函數，求實數a的取值范圍.

錯解函數f(x)的導數

因此f'(x)＞0在R上恒成立，故

解不等式f'(x)＜0，可得可導函數的單調遞減區間;反之，若函數f(x)在區間D上為減函數，則f'(x)≤0在區間D上恒成立，在解題時往往易漏掉等號.

總之，導數是解決有關問題的重要工具，若在應用時能注意到以上的細節，則能準確解題.