例談變式教學提升教材例題、習題價值

●謝維勇 (眉山中學 四川眉山 620010)

面對現行高考升學的壓力，不少一線教師認為教材中的例題、習題過于簡單，除了偶爾作為隨堂練習外，沒有太大的利用價值，常從各種教輔資料中精選各類典型問題，然后歸類形成各種解題套路或模式，再通過反復訓練，強化學生的解題技巧.這種教學模式自然導致師生輕視教材，掉進題海中不能自拔.同時，每年的高考試題分析都會指出若干試題直接源于教材的例題、習題，教師仔細分析后深感遺憾.如今的教材是經過若干次修訂而成，例題、習題也是編者反復思索后確定的，多數都比較典型，關鍵是教師該如何合理挖掘、提升其價值.

筆者認為，教師在教學中若能有意識地整合教材例題、習題資源，更好地體現編者意圖，通過適當變式建立簡單例題、習題與教輔資料中較難問題的聯系，引導學生重視教材，同時能從“一題多解、多題一解、多解歸一”等方面下功夫，則能將學生從機械重復的題海模式中解放出來，提高教學效率.本文就普通高中《數學》必修5第3章“不等式”復習參考題的第3題為例，說明如何通過變式提升教材例題、習題的價值.

圖1

思路4 由2kx2+kx-＜0，得 2kx2＜ -kx+.設 f(x)=2kx2，g(x)=-kx+.其中f(x)=2kx2的圖像為拋物線，g(x)=-kx+為一條直線，f(x)的圖像恒在g(x)圖像的下方，要滿足條件，只能是f(x)=2kx2開口向下(如圖1所示)：直線與拋物線相離，即f(x)=g(x)無解.而2kx2+kx-=0是關于x的一元二次方程，由Δ=k2+3k＜0，得

變式1 當k取什么值時，不等式2kx2+kx-＜0對一切實數x都成立?

分析和原題比較沒有限定不等式的類型，需分k=0與k≠0討論：當k=0時，不等式等價于-＜0，顯然符合題意;當k≠0時，同原題，可得-3＜k＜0.

變式2 當k取什么值時，不等式2kx2+kx-＜0對一切實數x都不成立?

分析不等式2kx2+kx-＜0對一切實數x都不成立?不等式解集為φ?不等式2kx2+kx-≥0對一切實數x恒成立.變式3 當k取什么值時，不等式2kx2+kx-＜0的解集不為φ?

思路1 令f(x)=2kx2+kx-(x∈R)，則不等式2kx2+kx-＜0的解集不為φ?不等式2kx2+kx-＜0在R內有解?不等式2kx2+kx-＜0當x∈R時能成立?函數圖像上至少存在一個點位于x軸的下方?f(x)min＜0.

思路2 正面情況較多，可考慮問題的反面，求出k的取值范圍，再求出其在實數集內的補集即可.即求不等式2kx2+kx-≥0的解集為R時k的取值集合在實數集內的補集.

分析不等式2kx2+kx-＜0在x∈時恰好成立?不等式的解集為是一元二次方程2的2個根且k＞0.由韋達定理得

注不等式在區間I內恰好成立?不等式的解集為區間I.

(2)當 k＞0時，Δ =k2+3k＞0，于是

注含有參數的二次型不等式求解思路：先由二次項系數、判別式為0確定分界點，然后將給定參數范圍分成若干部分依次求解(分界點單獨討論).

注不等式在區間I上恒成立求參數取值范圍問題的常見思路有：

(1)構建輔助函數轉化為函數最值問題(沒有最值找上下臨界值).

①若A＜f(x)在區間I上恒成立?在區間I上A＜f(x)min;

②若A＞f(x)在區間I上恒成立?在區間I上A＞f(x)max.

(2)先分離參數再轉化為函數最值.

基本步驟：①先將參數與變量分離，轉化為g(λ)＞f(x)(或 g(λ)＜f(x))在 x∈I恒成立的形式;

②求函數f(x)在區間I上的最大值(或最小值);

③解不等式 g(λ)＞f(x)max(或 g(λ)＜f(x)min)，求得λ的取值范圍.

(3)轉化為子集關系.

設不等式解集為Q，不等式在區間I上恒成立?I?Q.

(4)轉化為函數圖像問題.

先將不等式通過合理移項，使兩端均為常見函數f(x)，g(x).不等式f(x)＞g(x)在區間I上恒成立?在區間I上，函數f(x)的圖像始終位于函數g(x)圖像的上方.

注不等式能成立求參數范圍問題常見轉化思路有：

(1)不等式f(x)＞A在區間I上能成立?I∩Q≠φ(其中Q為不等式f(x)＞A的解集)?不等式f(x)≤A在區間I上恒成立時參數取值集合的補集?f(x)max＞A;

(2)不等式f(x)＜A在區間I上能成立?I∩Q≠φ(其中Q為不等式f(x)＜A的解集)?不等式f(x)≥A在區間I上恒成立時參數取值集合的補集?f(x)min＜A.

通過對本題變式的研究，既使學生復習了不等式的基本性質和解法、函數最值求法、3個二次間的內在聯系，又理順了不等式在給定區間恒成立、能成立、恰好成立以及求參數范圍問題的異同和各種常見求解思路，最后提升為具有可操作的解題模塊，避免了機械重復的大量盲目解題，提高了學習效率.

總之，在日常教學中，如果我們能有意識地對現行教材的例題、習題進行適當整合、變式，讓學生既能體會到手中教輔資料的題目源于教材，又能在習題變式中熟練所學概念、公式、法則的應用，引導學生重新重視教材的研習，從繁重而相對枯燥的題海模式中解脫出來，將更好地提高教學效率.