高師數學專業高等代數教學構想

龍述德

(重慶文理學院數學與財經學院，重慶 永川 402160)

高等代數是高師數學專業的入門課，也是最重要的基礎課之一，是學生將來學習后續數學課程及現代科學技術的必備基礎.通過本課程的學習，應讓學生掌握高等代數的基本知識和技巧，并對初等數學內容有較深入的了解.

高等代數是學生踏入大學校門后第一學期開設的課程，其內容和初等數學有著緊密聯系.筆者發現，學生一開始學習覺得這門課程似乎并不太難，但隨著學習的深入，好像與初等數學又相去甚遠，很多內容抽象得讓他們無法理解.另外學生在學習中也經常會問:學習高等代數對他們將來從事中學數學教學有何作用?針對這些問題，筆者認為應注意以下幾個方面:

1 培養學生的興趣，激發學生的學習熱情

興趣是最好的老師，興趣是成才的先導，興趣可以激發學習的內在動機.因此，在教學中教師必須對課堂教學進行精心設計，激發學生的學習熱情，使學生對所講的課感到趣味無窮.高等代數的內容和初等數學有著緊密聯系，在教學中若能有機地將他們結合起來可有效地培養學生的興趣.例如，學生在中學曾學過因式分解，當時只是學過一些分解因式的方法和技巧，而對多項式“能不能再分解”及“分解是否唯一”等問題心存疑惑卻找不到答案.這樣，在多項式理論的教學中可先提出曾在中學出現的這些問題，激發他們的求知欲，通過學習讓他們感到學習高等代數既可以解決很多在中學不明白的問題，又可以高屋建瓴地指導將來的中學數學教學.此外，數學背景的介紹對培養學生的興趣是必要的.

2 加強基本概念的教學，提高學生的抽象思維能力

高等代數的基本概念多，是掌握高等代數知識和技巧的基礎［1］.筆者發現，有相當部分學生對基本概念的理解很模糊，常常抓不住本質，主要原因是學生思維能力中的抽象思維能力比較差，不能準確地理解和把握概念的內涵及外延，無法掌握概念的本質屬性.因此，在講解基本概念時需舉幾個符合定義條件的例子把其具體化，通過例子理解概念，運用例子掌握方法，這樣就使學生學習新概念時，能抓住概念的本質，做到對概念準確、完整地理解.誠然，高等代數有許多基本概念很抽象，學生學習時經常理解困難或混淆不清，這就需要教師在教學時引導和幫助學生把握好定義中的關鍵詞句，對需要滿足的條件逐點講述，深入剖析概念.比如，歐氏空間的定義［2－3］:

設V是實數域R上一線性空間，在V上定義了一個二元實函數，稱為內積，記作(α，β)，它具有以下性質:

1)(α，β)=(β，α);

2)(kα，β)=k(α，β);

3)(α + β，γ)=(α，γ)+(β，γ);

4)(α，α)≥0，當且僅當α =0時(α，α)=0.

這里，α，β，γ是V中任意的向量，k是任意實數，這樣的線性空間稱為歐氏空間.在教學中首先指出歐氏空間必須是實數域上的線性空間，其次在其上面定義的二元實函數必須滿足的四個條件，尤其是第四條更需要強調.由定義還可看出，歐氏空間對維數并沒有作要求可以是有限維的，也可以是無限維的.為了便于學生理解歐氏空間的定義，還可舉兩個學生熟悉的例子:一是平面上所有向量構成的集合R2，對于R2任意兩個向量α =(x1，y1)，β =(x2，y2)，定義內積 (α，β)=x1x2+y1y2;二是閉區間［a，b］上的所有實連續函數所構成的集合 C(a，b)，對于函數 f(x)，g(x)定義內積 (f，g)=.這樣可使抽象的歐氏空間的定義變得具體化，從而提高學生的理解能力.

另一方面，還可以嘗試從一些具體的熟悉例子出發提取本質的東西，進而定義一個新的概念，這樣可提高學生的抽象思維能力.如在介紹向量空間基的定義前，以平面和三維空間的單位坐標向量為例，說明這些空間的任一個向量不但可以由單位坐標向量組線性表示，而且這些單位向量組都線性無關，這樣就可自然地抽象出向量空間基的概念.

3 上好習題課，提高學生解決問題的能力

習題課是數學教學中的一個重要環節.因此，教師首先要及時安排習題課，處理學生在做作業過程中出現的問題及與教學內容有關的具有代表性的習題.在習題的講解中，應注重分析，抓住習題最本質的東西，突出重點、分散難點，做到深入淺出，化難為易.這樣不僅可增強學生學習高等代數的信心，還可激發他們的求知欲.另外，在處理習題時，還要做到舉一反三，觸類旁通，教給學生處理問題的方法.同時，在習題課中教師不宜事無巨細都講，要留有余地引導學生積極思考，盡量讓學生自己總結解題方法，培養他們的獨立思考能力和解決問題的能力.

適度的習題訓練是培養學生的數學思維和數學素養的行之有效的手段.因此，在習題課中提煉高等代數教學內容中處理問題的方法顯得尤其重要.例如，突出線性無關組的擴充在處理向量組問題、向量空間問題和歐氏空間問題等的作用和統一性;突出初等變換在處理矩陣問題和線性方程組問題時的作用及該方法的統一性.通過對高等代數教學內容的中的諸如分類、化歸、構造等方法的提煉，可以加深學生對數學方法重要性的理解并提高他們分析問題、解決問題的能力［4－5］.

4 結語

高等代數具有概念既多又抽象等特點.我們要具體情況具體分析，選擇合適的教學方法，要在教學中盡量把高等代數的內容和初等數學結合起來，讓學生感到學習高等代數既是有趣的又是自己將來從事中學數學教學工作所必需的.這樣才能激發起他們學習的內在動機，更好地學好高等代數這門課程.

［1］鐘祥貴，易忠.探析高等代數教學中創新素質的培養［J］.廣西高教研究，2002(1):58－61.

［2］王粵芳，石生明.高等代數:第3版［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［3］張禾瑞，郝炳新.高等代數:第4版［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［4］王玉行.高等代數教學對學生形成和發展數學品質的意義及教學策略［J］.數學教育學報，2007，16(3):92－94.

［5］郭民.高師院校代數與幾何課程改革的探索與實踐［J］.數學教育學報，2007，16(4):90 －92.