基于聯系數的區間灰數預測模型

劉衛鋒

0 引言

灰色GM(1,1)模型是灰色系統理論的核心內容和方法之一[1，2]，目前該方法在社會經濟、管理和工程技術等領域得到了廣泛的應用。但是，灰色GM(1,1)模型有時會出現預測誤差較大的情形，對此，許多學者從背景值構造[3-5]，初值條件優化[6-7]，模型參數估計[8-10]方面對GM(1,1)模型進行改進，取得了豐碩的成果。但是，這些研究和改進實際上仍然苑囿于對白數（實數）序列進行建模，因而建立的灰色GM(1,1)模型并非真正意義上的灰色預測模型。對此，有文獻對區間灰數序列的建模進行了研究，并取得了初步的研究成果，其中，文獻[11]通過計算灰數層的面積以及灰數層中位線中點的坐標,將區間灰數序列轉換成實數序列,建立一種區間灰數預測模型；文獻[12]構建了白化權函數已知情況下的區間灰數預測模型；文獻[13]在區間灰數的核和灰度的基礎上，提出了基于核和灰度的區間灰數預測模型；文獻[14]通過將區間灰數序列轉化成相應的發展趨勢序列和認知程度,提出了基于發展趨勢和認知程度的區間灰數預測模型；文獻[15]根據區間灰數的幾何特征，通過面積轉化和坐標轉換，將區間灰數序列轉換成實數序列，從而建立了區間灰數預測模型。

在上述研究文獻的基礎上，受文獻[16]啟發，本文嘗試將集對理論中二元聯系數引入到區間灰數預測中，建立基于二元聯系數的區間灰數預測模型。首先，定義了區間灰數的聯系數及其相關概念，然后，將區間灰數序列轉化為二元聯系數序列，并對二元聯系數序列的同部序列和異部序列分別建立灰色預測模型，最后，將同部序列和異部序列的模型值還原為區間灰數，從而實現對區間灰數序列的預測。文中計算實例驗證了聯系數區間灰數預測模型的可行性。

1 基本概念

定義1[2]只知道取值范圍而不知其確切值的數稱為灰數。常用記號?表示灰數。

定義2[2]既有下界a又有上界b的灰數成為區間灰數，記為?∈[a,b]，其中a≤b。

定義3設區間灰數 ?∈[a,b]，若 a≥0，則稱?∈[a,b]為非負區間灰數。

定義4對于非負區間灰數?∈[a,b]，令u=A+Bi，其中 A=a,B=b-a,i∈[0,1]，則稱u=A+Bi為對應于區間灰數?∈[a,b]的聯系數,其中A,B分別稱為聯系數u=A+Bi的同部和異部。

定理1設區間灰數為?∈[a,b]的聯系數為u=A+Bi，其中 A=a,B=b-a,i∈[0,1]，則二者可以相互轉化。

證明：首先，由定義4可知，區間灰數為?∈[a,b]可以表示為聯系數u=A+Bi，其中A=a,B=b-a,i∈[0,1].其次，由u=A+Bi，其中 A=a,B=b-a,i∈[0,1]可知，只需解方程組，即可得到區間灰數的下限和上限，從而得到區間灰數為?∈[a,b]。

由上述證明可知，二者可以相互轉化。

定義5設區間灰數序列為X(?)=(?1,?2,…,?n)，?k∈[ak,bk],k=1,2,…,n，則稱U=(u1,u2,…,un)，其中uk=Ak+Bki，Ak=ak,Bk=bk-ak，i∈[0,1],k=1,2,…,n，為 X(?)的聯系數序列，稱 A=(A1,A2,…,An)，B=(B1,B2,…,Bn)分別為聯系數序列U的同部序列和異部序列。

2 基于聯系數的區間灰數預測模型

基于聯系數的區間灰數預測模型的基本思想為：首先，將區間灰數序列轉化為聯系數序列，其次，分別針對聯系數序列的同部序列和異部序列建立灰色GM(1,1)模型，最后，將建立的灰色GM(1,1)模型的模擬預測值轉化為區間灰數，從而實現對區間灰數序列的模擬和預測。

定理2設X(?)=(?1,?2,…,?n)是非負區間灰數序列，其中，?k∈[ak,bk],k=1,2,…,n，其聯系數序列為U=(u1,u2,…,un)，其中 uk=Ak+Bki,Ak=ak,Bk=bkak,i∈[0,1],k=1,2,…,n，其同部序列為A=(A1,A2,…,An)=(a1,a2,…,an)，異部序列為B=(B1,B2,…,Bn)=(b1-a1,b2-a2,…,bn-an)。

(1)對同部序列建立GM(1,1)模型，可得到離散型時間響應函數為:

(2)對異部序列建立GM(1,1)模型，可得到離散型時間響應函數為

證明：(1)對同部序列 A=(a1,a2,…,an)建立GM(1,1)模型。

原始序列為A=(a1,a2,…,an)，其一次累加序列為，其中，其緊鄰均值序列為，其中：

于是，可得到離散型時間響應函數為:

(2)與（1）的證明類似，略去。

定理3設X(?)=(?1,?2,…,?n)是非負區間灰數序列，其中，?k∈[ak,bk],k=1,2,…,n，其聯系數序列為U=(u1,u2,…,un) ， 其 中uk=Ak+Bki,Ak=ak,Bk=bkak,i∈[0,1],k=1,2,…,n，同部序列 A=(A1,A2,…,An)=(a1,a2,…,an)和 異 部 序 列B=(B1,B2,…,Bn)=(b1-a1,b2-a2,…,bn-an)的離散型時間響應函數分別為：

3 計算實例

例1[15]某企業在分析競爭對手發展趨勢時，缺少對手銷售額的準確資料，通過在對共同競標等經營活動中收集到信息進行分析后，對該企業銷售額的最大值和最小值進行了估計，認為近幾年該企業的銷售額如表1所示。請對該企業以后的銷售額進行預測。

表1 某企業銷售額序列 (萬元)

將區間灰數序列X(?)=([80,100],[95,120],[120,150],[130,160])轉化為聯系數序列U=(80+20i,95+25i,120+30i,130+30i),i∈[0,1],其同部序列為A=(80,95,120,130)，異部序列為B=(20,25,30,30)。對同部序列和異部序列分別建立灰色預測模型，并將相關計算數據列入表2。

由計算結果可知，同部序列和異部序列的模擬值分別為2.53%,3.04%,精度較高，可以進行預測。由定理3將同部序列和異部序列的預測值還原為區間灰數序列，就得到了該企業2005～2013年的銷售模擬預測值(見表3)。

4 結語

文中針對傳統灰色預測模型僅適用于實數序列而無法進行區間灰數序列建模的缺陷,提出了一種基于聯系數的區間灰數預測模型。通過將區間灰數序列轉化為聯系數序列，并對聯系數序列的同部序列和異部序列分別建立灰色預測模型，然后將模型值還原為區間灰數，從而實現了對區間灰數序列的模擬和預測，該模型對于繼續探索區間灰數序列建模具有重要的理論和實際意義。

表2 模型計算結果

表3 銷售額模擬預測序列 (萬元)

[1] 鄧聚龍.灰色系統理論教程[M].武漢：華中理工大學出版社,1990.

[2] 劉思峰,黨耀國,方志耕等.灰色系統理論及其應用[M].北京:科學出版社，2010.

[3] 譚冠軍.GM(1,1)模型的背景值構造方法和應用(I)[J].系統工程理論與實踐,2000,20(4).

[4] 劉樂,王洪國,王寶偉.基于背景值構造方法的GM(1,1)模型優化[J].統計與決策,2009,(1).

[5] 羅黨,劉思峰,黨耀國.灰色模型GM(1,1)優化[J].中國工程科學,2003,5(8).

[6] 黨耀國,劉思峰,劉斌.以x(1)(n)為初始條件的GM模型[J].中國管理科學,2005,13(1).

[7] 張輝,胡適耕.GM(1,1)模型的邊值分析[J].華中科技大學學報,2001,19(4).

[8] 穆勇.灰色預測模型參數估計的優化方法[J].青島大學學報,2003,16(3).

[9] 田林亞,趙小飛,何習平.灰色模型GM(1,1)的穩健算法及其應用[J].吉首大學學報（自然科學版）,2006,27(4).

[10] 何文章,宋國鄉,吳愛弟.估計GM(1,1)模型中參數的一族算法[J].系統工程理論與實踐,2005,25(1).

[11] 曾波,劉思峰,謝乃明等.基于灰數帶及灰數層的區間灰數預測模型[J].控制與決策,2010,25(10).

[12] 曾波,劉思峰,崔杰.白化權函數已知的區間灰數預測模型[J].控制與決策,2010,25(12).

[13] 曾波.基于核和灰度的區間灰數預測模型[J].系統工程與電子技術,2011,33(4).

[14] 袁潮清,劉思峰,張可.基于發展趨勢和認知程度的區間灰數預測[J].控制與決策,2011，26(2).

[15] 曾波,劉思峰.一種基于區間灰數幾何特征的灰數預測模型[J].系統工程學報,2011,26(2).

[16] 趙克勤.二元聯系數A+Bi的理論基礎與基本算法及在人工智能中的應用[J].智能系統學報,2008,3(6).