單調遞減序列的離散變換及其灰色建模

孔新海，劉志斌，魏 勇

0 引言

灰色系統理論自誕生以來,已在許多領域得到了廣泛的應用,特別是在社會、經濟預測等方面應用更為廣泛。作為灰色系統理論重要內容之一的GM(1,1)模型,其應用價值在越來越多的領域中得到體現。從GM(1,1)模型建模機理來看,對遞增離散點列x(0)，其一次累加生成序列x(1)是單調遞增的，我們常直接建模即可；對遞減離散點列x(0)，由于其一次累加序列x(1)也是單調遞增的，其模擬值也是遞增的，如果對進行累減還原，常常被認為會產生不合理的計算誤差，因此很多學者通過各種變換，如：反向累加生成、倒數變換、線性變換，把遞減序列變換成遞增序列，再建立GM(1,1)模型。其實，遞減序列也可以建立GM(1,1)模型，有時建模效果還非常好。本文在文獻[1][2]的基礎上，提出一種基于單調遞減序列的離散變換，以期提高序列的光滑度。

1 基本概念

定義 1設序列 X={x(1),x(2),…,x(n)}，稱 σx(k)=為序列X的級比；稱δx(k)=|1-σx(k)|為序列X的級比偏差；稱為序列X的光滑度。定義2若為兩單調遞減序列,且對?k=2,3,…,n,有 ρa(k)＜ ρb(k),則稱序列更光滑。

定理1對于單調遞減序列 x(k)＞0,非負變換y(k)=F(x(k))滿足不等式 ρx(k)＜ρy(k)的充要條件為F(x(k))可以表示為 F(x(k))=x(k)f(k)，其中序列 f(k)非負，且嚴格單調上升。

證明：先證充分性。由于x(k)、f(k)非負，且 f(k)嚴格單調上升，則對i=1,2,…,k-1，有

x(k)x(i)f(i)＜x(k)f(k)x(i)

兩邊對i求和，可得

即

從而

再證必要性。由

取k=2，得

x(2)/x(1)＜F(x(2))/F(x(1))

即有

F(x(1))/x(1)＜F(x(2))/x(2)

令 z(k)=x(k+1)，則

F(z(1))/z(1)＜F(z(2))/z(2)

顯然有

F(x(2))/x(2)＜F(x(3))/x(3)

2 基于單調遞減序列的離散變換

2.1 離散變換

定義3對于單調遞減的原始序列X={x(1),x(2),…,x(n)}，進行離散變換y(k)=F(x(k))。

(1)若X為減速下降，即σx(1)＞σx(2)＞…＞σx(n-1)＞1，則變換算式為,d＞1,0＜s＜1。

(3)若X為加速下降，即1＜σx(1)＜σx(2)＜…＜σx(n-1)，則變換算式為：

令 φ(k)=(k+1)s-ks，當 σx(k)遞減，則 φ(k)也要遞減，即0＜s＜1；當σx(k)遞增，則φ(k)也要遞增，即 s＞1。

令 ?(s)=(k+1)s-ks,則 d(k+1)s-ks=d?(s),所以 d 與 s的增減具有反向性。若d放大，s縮小；若d縮小，s放大。

性質(1)為了保持變換序列與原始序列單調性一致，當 X為單調遞減序列時，對任意的k，d和 s滿足d(k+1)s-ks≤σx(k)；(2)該變換能夠縮小級比偏差；(3)該變換還原誤差不變。

證明：(1)當 X為單調遞減序列時，由于σy(k)=對 任 意 的 k,要 使y(k)≥ y(k+1),則,即 d(k+1)s-ks≤ σx(k)。

下面給出一種確定d和s的方法（級比偏差之和最小法）。

因為 σy(k)=σx(k)dks-(k+1)s，所以

δy(k)=|1-σy(k)|=|1-σx(k)dks-(k+1)s|

(1)d(k+1)s-ks≤σx(k)；(2)d＞1；(3)s的范圍。

2.2 建立GM(1,1)模型

設X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}為單調遞減的原始序列，分析其級比變化趨勢，利用級比偏差之和最小確定d與 s，再進行數據變換 y(k)=x(k)dks，對變換序列Y(0)={y(0)(k)}建立GM(1,1)微分方程模型

其中：

求解上述微分方程的時間響應函數并離散化，則

還原得

3 實例分析

例1[3]某10mg血藥在相同時間間隔測得的濃度數據為

其級比序列為

這顯然是個增長速度減緩的序列。利用本文提出的離散變換y(k)=x(k)dks，d＞1,0＜s＜1，對原始數據進行離散變換處理，然后再建立GM(1,1)模型。根據級比偏差之和最小,可求得d=1.466919,s=0.7264035,建立GM(1,1)模型，模擬效果如表1所示。

表1 模擬效果比較

從表1可以看出，經本文方法變換之后建立的GM(1,1)模型模擬效果比原始模型的結果要好。

例2[4]在N2O5的熱分解反應過程中,在等時間間隔里實驗測得N2O5的分壓數據為X(0)={24.7,18.5,14.0,10.5,7.8,5.8,4.4,3.3},這里溫度T=318.2K ，單位：cm Hg，其級比序列為={1.3351,1.3214,1.3333,1.3462,1.3448,1.3182,1.3333}，這是個相對平穩的序列。這里令s=1，取，建立GM(1,1)模型，模擬效果如表2所示。

表2 模擬效果比較

例3[5]某油田在遞減階段的年產量為X ={14.38,14,13.06,12.09,10.98,9.88,8.27}，單位：107t/a,其級比序列為={1.0271,1.0720,1.0802,1.1011,1.1113,1.1947這是個級比增長的遞減序列。利用本文提出的離散變換y(k)=x(k)dks(d＞1,s＞1)，對原始數據進行離散處理，然后再建立GM(1,1)模型。根據級比偏差之和最小,可求得d=1.008491,s=2.057443,建立GM(1,1)模型，模擬效果如表3所示。

表3 模擬效果比較

4 結語

針對原始序列為單調遞減的情況，本文提出了一種提高光滑度的離散變換，這種變換能更好地適應原始數據序列的變化趨勢。根據原始序列的增長速率來調整離散變換算式的參數，以縮小原始數據序列的級比偏差，提高GM(1,1)建模精度。文中所舉實例也說明了這種離散變換的可行性。本文只是針對原始序列為單調遞減的情況進行了討論，其他情況將在其后作進一步研究。

[1] 黃福勇.灰色系統建模的變換方法[J].系統工程理論與實踐,1994,14(11).

[2] Yong Wei,Yi Zhang.An Essential Characteristic of the Discrete Function Transformation to Increase the Smooth Degree of Data[J].The Journal of Grey System(UK),2007,18(3).

[3] 楊保華,張忠泉.灰色GRM(1,1)藥物動力學模型[J].數理醫藥學雜志,2003,16(1).

[4] 安燕,吳啟勛.倒數累加生成灰色RGM(1,1)模型及其在化學動力學上的應用[J].計算機與應用化學,2006,23(2).

[5] 陳元千,郭二鵬.新型油田產量遞減模型的建立與應用[J].中國海上油氣,2008,20(6).