一道高三模擬題目引發(fā)的思考——點(diǎn)斜率和切斜率的區(qū)別

徐 學(xué)

（蘇州中學(xué)園區(qū)校，江蘇 蘇州 215000）

日前筆者在高三復(fù)習(xí)中遇到這樣一道模擬題：在如圖1（甲）所示電路中，閉合電鍵S，當(dāng)滑動(dòng)變阻器的滑動(dòng)觸頭P向下滑動(dòng)的過程中，四個(gè)理想電表的示數(shù)都發(fā)生變化.圖1（乙）中三條圖線分別表示了三個(gè)電壓表示數(shù)隨電流表示數(shù)變化的情況，以下說法正確的是

（A）圖線a表示的是電壓表V3的示數(shù)隨電流表示數(shù)變化的情況.

（B）圖線c表示的是電壓表V2的示數(shù)隨電流表示數(shù)變化的情況.

（C）此過程中電壓表V1示數(shù)的變化量ΔU1和電流表示數(shù)變化量ΔI的比值變大.

（D）此過程中電壓表V3示數(shù)的變化量ΔU3和電流表示數(shù)變化量ΔI的比值不變.

圖1

學(xué)生A：當(dāng)滑動(dòng)變阻器的滑動(dòng)觸頭P向下滑動(dòng)的過程中，R2的阻值增加，電壓表示數(shù)V3表示的是R2兩端的電壓，電流表表示的是流過R2的電流.由可知，當(dāng)R2增大時(shí)也增大.也就是如果以U3為縱坐標(biāo)，以I為橫坐標(biāo).那么該圖像的斜率應(yīng)當(dāng)增大.所以（A）和（D）選項(xiàng)不正確.

學(xué)生B：P向下滑動(dòng)過程中，R2增加，I減小，即A示數(shù)減小，U內(nèi)＝I r減小，路端電壓U1＝E－Ir，從該表達(dá)式看出U1與I是線性函數(shù)，圖線的斜率的絕對(duì)值為電源的內(nèi)阻r，因此（C）選項(xiàng)錯(cuò)誤.由U2＝I R1，因?yàn)镽1是定值電阻，該表達(dá)式表示U2－I圖像是經(jīng)過原點(diǎn)的直線，圖線的斜率是R1，所以（B）選項(xiàng)正確.由U3＝E－Ir－U2＝EI（r＋R1），由該表達(dá)式可知斜率是定值.所以（D）選項(xiàng)正確.又由和知道b代表U1與I的關(guān)系的圖線，a代表的是U3與I的關(guān)系的圖線.所以（A）選項(xiàng)正確.

究竟哪個(gè)學(xué)生的分析正確呢？感覺兩種說法都有道理.下面我們先來看下面一題，然后來討論上面哪個(gè)學(xué)生的分析是正確的.

小燈泡通電后其電流I隨所加電壓U變化的圖線如圖2所示，P為圖線上一點(diǎn)，PN為圖線在P點(diǎn)的切線，PQ為U軸的垂線，PM為I軸的垂線，則下列說法中正確的是

圖2

那么為什么學(xué)生易錯(cuò)選（B）呢？首先是在初中階段，學(xué)生遇到的主要是定值電阻，此時(shí)點(diǎn)斜率和切斜率沒有區(qū)別.故老師在教學(xué)中不再區(qū)分兩種斜率.學(xué)生記憶的結(jié)果是在導(dǎo)體的伏安特性曲線圖上圖線的斜率的倒數(shù)就是電阻.另外小燈泡的伏安特性曲線圖上小燈泡的電阻雖然是非線性變化的.但是隨著電壓的增大，點(diǎn)斜率和切斜率都在減小，表現(xiàn)為小燈泡的電阻都在增加.因此并不能把點(diǎn)斜率和切斜率不同的矛盾暴露出來.其次在高中階段，學(xué)生在分析位移時(shí)間圖像時(shí)，圖像的斜率表示物體的速度.在分析速度時(shí)間圖像時(shí)，圖像的斜率表示物體運(yùn)動(dòng)的加速度.而此時(shí)的斜率都是指切斜率.最后數(shù)學(xué)上斜率的定義也是也是指切斜率.以上三個(gè)原因使學(xué)生潛意識(shí)中認(rèn)為的斜率就是切斜率.當(dāng)伏安特性曲線是曲線時(shí)，雖然斜率k減小，表示R增大這一規(guī)律仍成立，但圖像上某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切斜率的倒數(shù)已經(jīng)不等于R了.因此導(dǎo)體在P點(diǎn)時(shí)的電阻應(yīng)當(dāng)計(jì)算導(dǎo)體在此電壓下電阻在該位置的點(diǎn)斜率的倒數(shù)作為P的電阻.通過上述的討論我們明確了這一點(diǎn).導(dǎo)體的電阻應(yīng)當(dāng)用點(diǎn)斜率來計(jì)算只有當(dāng)導(dǎo)體是定值電阻時(shí)，由于切斜率等于點(diǎn)斜率，才可以用切斜率來計(jì)算

現(xiàn)在我們可以來討論本文開始提出的問題了.對(duì)于學(xué)生A，認(rèn)為實(shí)質(zhì)上是用到了用切斜率來表示R2的電阻.但是上式成立的前提是R2是定值電阻.即滿足R，但是R2在增大，不是定值電阻.實(shí)際上R2＝的增大只能說明增大而不能說明增大.事實(shí)上通過學(xué)生B的分析是一個(gè)定值.通過上面討論，我們應(yīng)當(dāng)在教學(xué)過程中讓學(xué)生能區(qū)分切斜率和點(diǎn)斜率.才不至于當(dāng)電阻的阻值發(fā)生變化時(shí)把電阻兩端電壓的變化量與電流的變化量的比值當(dāng)成電阻值.