芻議“物體的重力與地球自轉的角速度”

嚴光文

（甘肅省民勤縣第一中學，甘肅 民勤 733300）

我們知道靜止在地面上的物體受到的重力，是由地球與物體之間的萬有引力產生的，而物體隨地球繞地軸轉動需要的向心力，也是由地球與物體之間的萬有引力提供的，那么，若地球自轉的角速度加快，物體所受的重力會不會變化呢？要想回答這個問題，必須探討重力與萬有引力之間的具體關系，下面具體討論這些問題.

1 重力與萬有引力的關系分析

（1）在慣性參考系中，物體所受的重力是萬有引力的一個分力.

由萬有引力定律可知，質量為m的物體在地球的表面上受到地球的引力大小為，（式中M表示地球的質量，R表示地球的半徑，方向是指向地心的）.由于地球在不停地自轉，地球上的一切物體都隨地球的自轉而繞地軸做勻速圓周運動，這就需要向心力f，這個向心力f的方向是垂直指向地軸的，它的大小為f＝mω2r，（式中r是物體距地軸的距離，ω為地球自轉的角速度），這個向心力f只能來自地球對物體的引力F，它是引力F的一個分力，引力F的另一個分力是物體所受的重力mg.因此，重力mg是物體m所受的萬有引力F的一個分力，方向是豎直向下的.如圖1所示.

圖1

圖2

（2）在非慣性參考系中，物體所受的重力是萬有引力與離心慣性力的合力.

如圖2所示，將質量為m的物體懸掛于細線的末端且相對于地球靜止，取地球為參考系，物體受3個力的作用，萬有引力F、拉力T和離心慣性力F′＝mω2r，（式中ω為地球自轉的角速度，r為物體到地球自轉軸的距離），此3力平衡，且3個力的合力為0.由重力的定義和G＝mg＝T，重力的方向與拉力T的方向相反.可見，物體的重力mg為地球引力F與離心慣性力F′的合力.

（3）兩種方法求得的物體所受重力mg結果相同.

同一個問題似乎有兩個結論，即重力mg既是物體與地球間的萬有引力F的一個分力，又是物體m所受萬有引力F與離心慣性力F′的合力.這種差別是由于在不同的參考系（地心——恒星參考系和地球參考系）中觀察所致.兩種方法求得的物體的重力結果完全相同，因3個力F、T、F′相平衡，可把萬有引力F分解為一個與慣性離心力F′相平衡的力f＝mω2r，另一個與拉力T相平衡的重力mg，從這個角度來看，兩者又互相統一.

2 若地球自轉的角速度ω變化，物體所受重力mg的變化情況分析

利用圖1所建的模型進行定性分析.

（3）在任意處，對地面上的物體作受力分析：物體受萬有引力F和支持力FN兩個力，受力如圖3所示.此時物體重力mg與支持力FN平衡，但物體并不處于平衡狀態.用φ表示物體所處的緯度，R表示地球的半徑，則有

圖3

由力的平行四邊形定則可知，mg與F、f之間的大小關系為

這是一個以ω為自變量的二次函數，當ω＝0時，mg取得最大值，若自變量ω增大，該函數值會減小.所以，若地球自傳的角速度ω加快，則物體所受的重力mg將變小.

另外，由上式也可以解釋為什么重力加速度g從赤道到兩極約由9.78m／s2增加到9.82m／s2，即g隨緯度的升高而變大.