物理競(jìng)賽中運(yùn)算型難題例析

江四喜

（武漢市第二中學(xué)，湖北 武漢 430010）

在中學(xué)物理中，作為規(guī)律性的核心內(nèi)容，如定理、定律之類并不是很多，而且表述也都比較簡(jiǎn)潔、明了.但物理卻又是中學(xué)階段讓很多學(xué)生感覺是最難學(xué)的學(xué)科，而其難學(xué)也是很多學(xué)生最終棄理學(xué)文的主要因素.究其原因，主要是因?yàn)橐獙W(xué)好物理，學(xué)習(xí)者必須具備較強(qiáng)的綜合處理物理問(wèn)題的能力.近年來(lái)，在各校自主招生的物理考試中，越來(lái)越多地使用競(jìng)賽試題，其主要原因就是解答物理競(jìng)賽試題的過(guò)程，能較好地展現(xiàn)學(xué)生處理綜合問(wèn)題的能力.

中學(xué)物理競(jìng)賽大綱中對(duì)物理競(jìng)賽試題的命題原則作了明確的說(shuō)明，即不要求答題者使用較為復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，便能處理相關(guān)的物理問(wèn)題.多年的競(jìng)賽試題表明，競(jìng)賽的命題包含了一個(gè)基本特征，就是對(duì)大學(xué)普通物理學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行初等化處理，其難點(diǎn)大多體現(xiàn)在要求中學(xué)生在不使用復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)知識(shí)的前提下，能用中學(xué)階段所掌握的知識(shí)對(duì)普通物理的問(wèn)題進(jìn)行處理，因此，學(xué)生們?cè)诮獯疬@類試題的過(guò)程中，在認(rèn)清模型結(jié)構(gòu)，作出過(guò)程分析，找準(zhǔn)物理的臨界問(wèn)題及隱含條件的同時(shí)，還必須綜合運(yùn)用微元、對(duì)稱、等效、類比、聯(lián)想、守恒、疊加、圖像等物理思想方法，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析與處理.而這一過(guò)程對(duì)學(xué)生的能力要求很高，也就產(chǎn)生了所謂的難題.

中學(xué)物理競(jìng)賽中的難題，大體是從運(yùn)算水平、思維角度、情景模型、過(guò)程識(shí)別及信息給予幾方面進(jìn)行設(shè)置.這里僅對(duì)競(jìng)賽中具有一定運(yùn)算難度的習(xí)題特點(diǎn)，作簡(jiǎn)要闡述.

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力，是中學(xué)物理教學(xué)對(duì)高中學(xué)生的能力要求之一.由于在全國(guó)高中物理競(jìng)賽中允許學(xué)生攜帶計(jì)算功能強(qiáng)大的計(jì)算器，即便是高次方程，利用計(jì)算器進(jìn)行迭代計(jì)算，也會(huì)很快得到結(jié)果，所以，常規(guī)教學(xué)中比較突出的計(jì)算問(wèn)題，已不再是競(jìng)賽物理中的問(wèn)題.這樣，在物理競(jìng)賽中，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理能力也就顯得特別重要，這也就構(gòu)成了一類難題.

事實(shí)上，很多參加物理競(jìng)賽的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)度，就走在物理的前面.因?yàn)橹挥羞@樣，才能保證在解答物理問(wèn)題時(shí)，不至于遇到數(shù)學(xué)上的障礙.

對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算能力，著重于學(xué)生的幾何、數(shù)列、三角函數(shù)、二次函數(shù)以及微元問(wèn)題的處理能力.

例1.質(zhì)量分布均勻的剛性桿AB、CD如圖1放置，A點(diǎn)與水平地面接觸，與地面間的靜摩擦因數(shù)為μA，B、D兩點(diǎn)與光滑豎直墻面接觸，桿AB和CD接觸處的靜摩擦因數(shù)為μC，兩桿的質(zhì)量均為m，長(zhǎng)度均為l.

（1）已知系統(tǒng)平衡時(shí)AB桿與墻面夾角為θ，求CD桿與墻面的夾角α應(yīng)該滿足的條件（用α及已知量滿足的方程表示）.

（2）若 μA＝1.00，μC＝0.866，θ＝60.0°，求系統(tǒng)平衡時(shí)α的取值范圍（用數(shù)值計(jì)算求出）.

解析：本題的模型結(jié)構(gòu)清晰，屬靜平衡的問(wèn)題.受力分析也不復(fù)雜，所用規(guī)律即為一般物體的平衡條件，但要最終得到正確的結(jié)果，沒有相當(dāng)熟練的運(yùn)算能力，恐怕難以走到最后.

圖1

建立如圖2所示坐標(biāo)系Oxy.兩桿的受力情況：f1為地面作用于桿AB的摩擦力，N1為地面對(duì)桿AB 的支持力，f2、N2為桿AB作用于桿CD的摩擦力和支持力，N3、N4分別為墻對(duì)桿AB和CD的作用力，mg 為重力.取桿AB和CD構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)平衡時(shí)，由平衡條件有

以及對(duì)A點(diǎn)的力矩

圖2

取桿CD為研究對(duì)象，由平衡條件有

以及對(duì)C點(diǎn)的力矩

解以上各式可得

CD桿平衡的必要條件為

由（12）～（14）式得

AB桿平衡的必要條件為

由（10）、（11）、（16）式得

因此，使系統(tǒng)平衡，α應(yīng)滿足的條件為（15）式和（17）式.將數(shù)據(jù)代入（15）式可得α≤arctan0.385＝21.1°.將數(shù)據(jù)代入（17）式，經(jīng)數(shù)值計(jì)算可得α≥19.5°.因此，α的取值范圍為19.5°≤α≤21.1°.

上例的解答雖然繁雜，但只要耐心地做下去，基本上還是可解的.而有些問(wèn)題，即便掌握了解答的物理方法，但其運(yùn)算方法與過(guò)程仍然會(huì)讓你無(wú)功而返.下面這道例題就屬于這一類型.

例2.如圖3，圓環(huán)之間夾有N個(gè)“三角形”，任意一線段代表電阻為R，求AB兩點(diǎn)之間的電阻RAB.

圖3

解析：在圖3（a）圖中，兩圓環(huán)中有N 個(gè)連條，設(shè)各自電流如圖3（b）.

應(yīng)有ii＋I(xiàn)i＋ii′＝C，其中C為常數(shù).

由iiR＝Ii－1R＋I(xiàn)iR，ii′R＝IiR＋I(xiàn)i＋1R，得

對(duì)節(jié)點(diǎn)A：

得

則對(duì)數(shù)列Ii－1＋3Ii＋I(xiàn)i＋1＝C，求得通項(xiàng)有

對(duì)上式由電路對(duì)稱性有IN－2＝I1，IN－1＝－I0，代入C＝I－4I0＋I(xiàn)1，化簡(jiǎn)得

對(duì)UAB，可得UAB＝iABR 及UAB＝2I0R，UAB＝（I1＋I(xiàn)2＋…＋I(xiàn)N－2）R，則iAB＝2I0，I1＋I(xiàn)2＋…＋I(xiàn)N－3＋I(xiàn)N－2＝2I0.為利用3ii＋ii－1＋ii＋1＝C，再寫出（－I0）＋I(xiàn)1＋…＋I(xiàn)N－3＝I0－I1.I2＋I(xiàn)3＋…＋I(xiàn)N－2＋I(xiàn)N－1＝I0－I1.得

聯(lián)立（4）、（5）式可得I與I0之間的關(guān)系，進(jìn)而可得

除了復(fù)雜的運(yùn)算，某些特殊方程的解法也是競(jìng)賽中非常重要的一個(gè)方面，而對(duì)于競(jìng)賽中可能出現(xiàn)的高次方程，則可利用手中功能強(qiáng)大的計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算.在此舉一例.

例3.質(zhì)量均為m的小球1、2用長(zhǎng)為4a的輕質(zhì)細(xì)線相連后，均以初速v沿著與線垂直的方向在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)線處于伸直狀態(tài).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線上距離小球1為a的點(diǎn)部位與固定在水平面上的一豎直光滑細(xì)釘接觸，如圖4所示.設(shè)在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩球不相碰，試求小球與釘?shù)淖畲缶嚯x（精確到0.001a）.

圖4

解析：運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球1、2所受細(xì)線的拉力相對(duì)釘子的力矩均為0，因此小球1、2各自相對(duì)釘子的角動(dòng)量都守恒.設(shè)某時(shí)刻小球1沿細(xì)線方向的速度為vr、與細(xì)線垂直方向的速度為v1θ，那么小球2沿細(xì)線方向的速度大小也為vr、與細(xì)線垂直方向的速度設(shè)為v2θ，如圖5所示.小球1、2的角動(dòng)量守恒式為

圖5

式中r1為球1與細(xì)釘?shù)木嚯x.又因系統(tǒng)光滑，有動(dòng)能守恒式

當(dāng)小球1達(dá)到與鐵釘最大距離時(shí)，滿足條件vr＝0.代入上式得v1θ2＋v2θ2＝2v2.與角動(dòng)量守恒式聯(lián)立，可得

在計(jì)算器上采用二分逼近法，可得數(shù)值近似解A＝1.653.因此，小球1與釘?shù)淖畲缶嚯x為r1＝1.653a.

在物理競(jìng)賽中，各類難題對(duì)問(wèn)題的設(shè)置，多數(shù)情況下是交融在一起的，是不可分割的，運(yùn)算難度只是其中的一項(xiàng)要素.如例2，對(duì)中學(xué)生而言，其模型是復(fù)雜的，思維難度也是很大的.面對(duì)這類問(wèn)題，沉著地分析，規(guī)范地表述，是突破障礙的保證，也是處理物理問(wèn)題能力的集中體現(xiàn).